利用几何画板解动态几何问题

王莎

【摘  要】动态几何问题是在几何图形的基础上，通过点、线、面、体的运动去探究几何变化规律的一类问题。几何画板以点、线、圆为基本元素，具有作图、动画、变换、计算等多项功能，能引导学生找到动态问题中所隐含的不动的规律。本文基于动态几何在教学中存在的种种问题，利用几何画板的优势功能将其与动态几何教学进行整合，阐述了几何画板解高中动态几何问题的思路。

【关键词】高中数学;几何画板;动态几何

1.动态几何教学现状

动态几何问题是用运动的观点去探究几何图形的变化规律的问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，通过点、线、面、体的运动或图形的变换，渗透运动变化观点的一类问题。

从学生的角度来讲。我国的高中生由于缺乏在实际生活中动手操作、切身体验的机会。他们学习动态几何时往往无法直接感知动态图像，只是习惯于用传统的静态观点来看待几何图形并进行思维。从老师的角度来讲。对于几何的教学，他们习惯了传统的尺规作图教学方式，这样画出来的图被固定在黑板上，不仅不便于修改，而且不能形象生动地进行演示，学生自然无法从不动的图形中找到动态图形特有的属性。

2.几何画板与动态几何教学的整合

数学是研究数量关系和空间形式的科学，具有抽象、复杂、严谨、灵活等特点，很多时候传统的教学手段并不能满足实际教学的需求。而在现代信息技术教学日益发展的今天，几何画板能通过动态特效充分而明了地展示数和形的潜在关系，帮助学生在“变”的图形中找到“不变”的特征，同时为数学教师的教学工作提供了新的契机。

2.1辨析概念，化“无形”为“有形”

数学中有许多几何概念采用了原始形成性定义，如圆的概念、角平分线的概念、垂直平分线的概念、抛物线的概念、椭圆的概念、双曲线的概念……对于这一类定义，用几何画板的动态功能让学生观察动态演示图，便可以“恍然大悟”，从而得到清晰又深刻的概念，对于这一概念的后续使用也会得心应手。

如在讲解圆的概念（平面内到定点距离等于定长的点的集合）时，可事先利用几何画板制作好一个小课件（如图），课堂上现场演示以便学生理解。

2.2数形结合，变“抽象”为“具体”

数形结合是高中阶段数学学习过程中常用的数学思想方法，对于解答抽象的数学问题、培养学生数学思维能力等都具有非常重要的实用意义。高中数学各大学习领域都应用到了数形结合的思想，尤其是几何这一块，更是需要形象的几何图形及其动态变化加以辅助，才能充分显示数学规律。因此，我们可以通过相应的动画功能来呈现点和线、线和线、线和面、面和面之间数量和位置的相互关系，使学生得到直观感受。

2.3实验验证，发现几何结论

基于数学的严谨性，任何数学问题都需要经过长期的、反复的实验才能发现其规律，随后还需要进行严密的逻辑推理，才能证明结论的准确性。几何画板是一个很好的数学實验平台，为实现数学“再发现、再创造”的过程提供了必要条件。学生可通过观察探究以及动手操作，逐渐培养自身的数学素养。如三角形内角和定理、圆周角定理、切线长定理等等，都可以通过几何画板的实时操作，让学生感知其规律。

3.几何画板在高中动态几何教学中的应用

动态几何问题综合性强、难度高，使得许多学生感觉到无从下手。教学中应该如何处理这个问题呢？总结前人的经验可归纳其答题策略为：掌握几何规律，找准运动过程中的特殊位置。对此，教师可以利用几何画板的动态演示功能，引导学生寻求几何图形在动态过程中不变的一般规律。

问题：如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（   ）

A.椭圆          B.双曲线

C.抛物线        D.圆

解析：可利用几何画板结合题意画出对应图象，“追踪”点P，拖动动点M，则点P的轨迹就显现出来了。如下图，轨迹是一个椭圆，选A

3.1以小课件形式融入课堂

几何画板的整合性能有限，不像PPT那样有较强的整合能力，无法对大量的资源进行综合全面的整合，因而不可能制作成为大型的课件。然而，几何画板强大的动态演示功能不容小觑，我们并不能因为整合能力差这个缺点而放弃使用它。为此，教师可结合具体的教学需求，以教学片段为单位，事先制作好一个或多个小型的课件，在必要时将其嵌入动态几何教学过程，而不需要全程使用几何画板讲课。

3.2创建课堂动态“小黑板”

几何画板经常在课堂上扮演“黑板”的角色，但它并不是完全等同于黑板。画在黑板上的几何图形是固定不变的，学生没有办法从中观察到几何体在运动过程中不变的本质特征，而几何画板“动态性”的特点恰恰可以填补这个空缺。此外，在实际的几何课堂教学过程中，若是出现教师意想不到且一时又无法直接应对的“疑难杂症”时，就可以通过当场操作几何画板来解决。

3.3帮助学生解决问题

教师可以通过在数学研究性学习或者数学课堂教学过程中对几何画板的操作，从简单到复杂、从低级到高级，逐步引导学生学习几何画板的操作技能，在潜移默化中影响学生利用几何画板解决数学问题的能力。同时，教师要注意提醒学生切忌过分依赖于几何画板，对于教学软件的使用重点是在于让学生掌握数学规律，从而逐渐培养学生脱离软件解题的能力，而不是一味地用这种工具性软件直接解题。

4.前景展望

随着新课改的逐步实施，几何画板势必会在高中数学教学中占有一席之地，尤其是对于动态几何问题的教学，更是需要几何画板这一类软件加以辅助。教师若能做到扬长避短、灵活应用，那么它将在改进教学模式、提高教学效率、增大教学容量等方面起到越来越重要的作用。因此，教育工作者应该在充分认识到几何画板优缺点的前提下，勇于摒弃糟粕、汲取精华、积极探索、不断进步。

参考文献：

[1]刘文华.浅谈几何画板在中学数学教学中的应用[J].湖北师范学院学报（自然科学版），2012，32（2）：96-101.

[2]陶维林.几何画板实用范例教程[M].北京：清华大学出版社，2001：1-228.