关于面积的一点思考

2020-12-03北京师范大学数学科学学院100875

中学数学月刊 2020年11期

黎雄 (北京师范大学数学科学学院 100875)

什么叫面积？这个问题说大就大，说小也小．小学的数学教材[1]里这样描述面积：物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积．面积准确的定义只有在高等数学里才出现．

菲赫金哥尔茨在他的名著《数学分析原理》[2]里这样定义封闭图形的面积：假设大家会求多边形的面积，然后考虑所有包含这个封闭图形的多边形，把这些多边形的面积都求出来，从而得到一个数集，这个数集的下确界就称为这个封闭图形的外面积．类似地，考虑所有包含在这个封闭图形内部的多边形，把这些多边形的面积求出来也得到一个数集，这个数集的上确界就称为这个封闭图形的内面积．如果某个封闭图形的外面积等于其内面积，那么这个封闭图形就称为有面积，并且把这个共同值称为该封闭图形的面积．

这个定义建立在会求多边形的面积的基础上，指出了边界不是折线的封闭图形的面积应该如何确定．那么多边形的面积又应该如何合理定义呢？这是我们这篇短文的目的．我们知道，通过连接多边形的对角线可以将其转化为多个三角形的并，如果假设面积满足“有限可加性”(即有限个互不相交的封闭图形的并的面积等于这些封闭图形的面积的和)，那么多边形面积的计算就转化为三角形面积的计算，而任何一个三角形是一个平行四边形的一半，平行四边形可以通过割补法转化为长方形，因而多边形面积的合理定义最终转化为如何合理定义长方形的面积．注意，在这个过程中，我们分别用到了面积的有限可加性和面积的“平移不变性”(即全等图形的面积相等)，这些性质符合直观认识，因而合理．

下面我们就来探讨长方形的面积如何合理定义．和为了比较两个集合的元素的多少而引进自然数一样，为了比较两条线段的长短，需要引进单位长度，比如长度的国际单位是米．同样地，度量面积也需要先引进单位面积．规定边长为1 m的正方形的面积为1 m2．

在人教版小学数学课本里[1]的教学内容编排顺序上，长方形面积的讨论是在认识小数之前，也就是说，最初学习长方形的面积时是针对长方形的长和宽都是整数倍单位长度来讨论的．因而，我们首先考虑长方形的长和宽都为整数倍单位长度时，长方形的面积应该如何定义．这种考虑也符合人的认知规律．比方说，如果长方形的长是5 m、宽是3 m，那么它的面积应该是多少？若用边长为1 m的正方形去测量这个长方形，则一行有5个，有3行，所以一共有15个，也就是说，需要用15个边长为1 m的正方形才能把这个长方形不重复地填满，因而我们自然地定义这个长方形的面积是15 m2．这也是我们小学学到的“数格子”的方法．这里其实也只用到了面积的有限可加性．一般地，如果长方形的长为mm、宽为nm(m,n是正整数)，那么同样地考虑可得这个长方形的面积应该定义为m×nm2．