HPM视角下智能计算思维的培养案例设计*

朱树金 (华东师范大学教师教育学院 200062)

图灵奖得主Edsger曾说：“我们所使用的工具影响着我们的思维方式和思维习惯，从而也将深刻影响着我们的思维能力．”[1]随着人工智能时代的到来，智能计算思维(ComputationalThinking)被视为21世纪的关键技能，是信息化社会中数字公民所应该具备的基本素养．智能计算思维的发展对学科教育产生了巨大的冲击，蔡金法和徐斌艳2016年提出将智能计算思维作为数学核心素养纳入数学课堂教学之中[2]，智能计算思维与《普通高中数学课程标准(2017)》中的数据分析和运算能力有着密切相通之处，并且为上述能力的培养提供理论上的支撑与实践层面的引领．

数学史中存在丰富的与智能计算思维有关的材料，围绕相关的数学史问题进行设计，贯穿于不同学段的数学课程之中，不失为系统培养学生智能计算思维的良策．因此本文首先对智能计算思维的概念进行了介绍，并基于数学史进行培养学生智能计算思维的案例设计．

1 智能计算思维

目前关于智能计算思维的概念界定没有明确统一的观点，美国教育家Rapert在1996年第一次初步界定了智能计算思维的定义，自2006年周以真提出智能计算思维的正式定义之后学者们纷纷根据自己的学科背景和理解对智能计算思维进行多角度的定义与补充．魏茵托普(Weintrop)等研究者通过大量的文献分析、专家访谈、数学课堂教学观察及编码分析，提出数学教育中的智能计算思维要素分类，它包括数据实践、建立模型与模拟实践、智能计算问题解决实践、系统思维实践四个要素[3]，并且对每个思维要素分别进行了界定(表1)．

表1 数学教育中智能计算思维的要素分类

2 案例设计

2.1 求最大公约数案例设计

(1)新课引入

设计意图数学史家琼斯(Jones)说：“数学史中具有丰富的可用于课堂的精彩有趣的历史话题，研究的原因、最早的解法是什么、最后的解法是什么、最好的解法又如何，都能激发学生的兴趣．”[4]本案例选取祖冲之计算闰月的数学史材料创设情境，引出本堂课需要解决的问题：怎样求两个数的最大公约数.一方面可以引发学生的好奇心与求知欲，另一方面古人收集数据、提出问题、解决问题的实践可以培养学生的智能计算思维．

(2)方法探究

教师设计从简单到复杂的问题串，讲解求最大公约数

的方法．

问题1 求18和12的最大公约数．

由于18和12两个数较小，根据学生的回答总结质因数分解法，把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来并相乘，所得的积就是这几个数的最大公约数．由于质因数分解法和短除法有相同的原理，教师继续介绍短除法．

问题2 《九章算术》第一卷第六题：又有九十一分之四十九．问：约之得几何？

教师首先将此作为变式让学生使用质因数分解法和短除法进行计算，巩固刚才讲过的方法，然后让学生思考：当古人在没有质因数的概念时他们会如何解决这个问题？思考后给出《九章算术》中的约分术：可半者半之，不可半者，副置分母、分子之数，以少减多，更相减损，求其等也．

问题3 求8 251和6 105的最大公约数．

学生大多选择更相减损术来求解两个较大数的最大公约数．之后教师讲授欧几里得的辗转相除法：用较大数除以较小数，用出现的余数(若不为0)去除除数，再用出现的第二个余数(若仍不为0)去除第一个余数，如此反复，直到最后余数是0为止，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数．

设计意图设计问题让学生学习求最大公约数的质因数分解法、更相减损术、辗转相除法．问题2让学生站在古人的角度思考问题，体会知识的发生过程；问题3选择两个较大的数揭示知识的必要性，有助于学生更好地理解与接受知识．

(3)思维扩展

教师提供变式让学生选择合适的方法进行解题，并思考三种方法的异同．学生回答后教师引导学生总结更相减损术和辗转相除法的算法步骤，通过自然语言或者程序框图的形式呈现出来．之后教师让学生思考：如果让你来进行手动计算你会选择什么样的方法？如果计算机进行编程的话应该选择什么样的方法？

对于手动计算，当两个数较小时倾向于选择质因数分解法，当两个数较大时由于辗转相除法比更相减损术步骤更少，因此更加倾向于选择辗转相除法.但是计算机做乘除运算会比做加减运算慢得多，因此更相减损术在计算机上更为适用．

设计意图有研究通过剖析典型的智能计算思维教学案例，发现不使用计算机而采取适当的教学活动同样可以有效促进学生对计算思维的掌握和理解．本节课为小学学段的数学课程，学生认知水平较低，相关的计算机知识储备不足，因此选择算法总结的教学方式而并未运行计算机程序让学生体会传统的数学思维与智能计算思维之间的异同．

(4)课后活动

教师布置两个课后活动，学生可以根据自己的兴趣进行选择．

活动1：本节课学习了农历的闰月是怎样计算的，学生课下通过查阅书籍、上网查阅资料等方式探究公历的闰年是怎样计算的，并形成报告．

活动2：本节课学习了求最大公约数的几种方法并且分析了它们之间的异同，思考了计算机会选择什么样的算法，但是计算机求最大公约数的Stein算法与更相减损术具有一定的差别，学生通过查阅书籍、上网查阅资料等方式分析其与更相减损术之间的差别．

设计意图活动1密切联系实际生活，帮助学生学会用数学的眼光看待问题，活动2让学生实际感受计算机的算法与程序，帮助扩展学生的视野，培养学生的智能计算思维．

2.2 计算圆周率π案例设计

(1)新课引入

教师设置课前讨论环节：圆周率π是一个在数学及物理中重要的常用常数，相信同学们再熟悉不过，提到圆周率π你能想到什么？它是怎样产生的又是怎样被人们计算出来的呢？学生发言后播放微视频介绍古人计算圆周率的历史．

设计意图M·克莱因认为：数学家探索数学知识的曲折经历对学生有着很好的教育意义，给学生讲述数学家在建立一个可观的结构之前所经历的艰苦漫长的道路可以让学生顽强地去追求他所研究的问题，不会因为他自己的工作并非完美无缺而感到颓丧．通过介绍数学家计算圆周率π的发展历史，让学生了解历史上数学家们发现知识解决问题时所遇到的困难、所犯的错误，从而对数学的学习形成正确的认识，更加自信、富有热情地投入到数学学习中，这具有很好的德育价值．

(2)方法探究

教师介绍刘徽的割圆术：魏晋时期我国伟大的数学家刘徽创造了一个计算圆周率π到任意精度的迭代程序．刘徽从圆内接正6边形开始，逐次做圆的内接正12边形、24边形、48边形，并反复使用勾股定理求得正多边形的边长，使用其创造的多边形面积公式求得多边形的面积．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，随着分割次数的增加，圆内接正多边形的面积越来越接近圆的面积，从而求得圆周率π．

图1

探究1证明刘徽求正多边形面积公式：正2n边形面积 = 正n边形半周长×半径．引导学生分小组利用“出入相补”原理证明刘徽求正多边形面积公式的特殊情况：正12边形面积 = 正6边形周长的一半×半径，由图1可证，证明过程略．

探究2教师引导学生计算半径为1的圆内接正12边形的边长和面积，不要求求出数值．作图如图2，计算过程如下：

求得圆内接正12边形的边长为AC，圆内接正12边形的面积为3，刘徽之前人们所说的“周三径一”就是使用圆内接正12边形的面积代替圆的所求面积．

设计意图刘徽的“割圆术”具有机械化的程序，是典型的用智能计算思维解决问题的机械化方法.此环节可以让学生体会刘徽计算圆周率时的智能计算思维，感受刘徽简洁的迭代计算方法，同时涉及勾股定理、正多边形面积计算、出入相补原理等知识点，是兴趣能力拓展和课内知识巩固的完美结合．

图2

(3)思维拓展

教师使用几何画板演示刘徽的割圆术，通过调整参数大小，圆周率的值精确度越来越高．刘徽在《九章算术注》中叙述了分割6边形到12边形直到192边形，却没有叙述接下来的分割，但是刘辉的这个快捷算法理论上可以将圆周率计算到任意精度，教师引导学生总结刘徽“割圆术”的算法步骤．

设计意图一方面，计算机的引入使课堂探究意味十足，为数学的思想和方法注入了更多、更广泛的内容，使学习者摆脱繁重乏味的数学演算和数值计算，寻找解决问题的新角度；另一方面，总结算法步骤可以帮助学生更好地理解知识、理解技术服务于生活，让问题解决更加便捷，培养使用智能计算思维解决问题的能力与意识．

(4)课后活动

教师介绍在计算机发明之前，数学家们使用几何的方法来求解圆周率，而在计算机发明后一大批方法涌现出来，如蒲丰投针法、蒙特卡洛法、微积分的方法等．计算圆周率的方法很多，教师让学生分小组搜集资料、查阅书籍，寻找有什么方法可以用来计算圆周率，并选择一种感兴趣的方法进行模拟，形成报告．

设计意图课后探索是课堂的延续与升华.由于时间和课时安排，教师只能选择有代表性的方法在课堂上展示分析，课下的自主学习可以帮助学生重新梳理整合知识、拓展视野，有利于培养学生的自主学习能力．蒲丰投针等实验包含构造分析数据的数据实践、利用计算机进行模拟的实践等，可以很好地培养学生的智能计算思维．

3 数学史融合方式及其与智能计算思维间的联系

对案例中数学史在教学中的运用方式进行分析(表2)，数学史在整体性重构后融入到培养学生的智能计算思维的教学中，教学过程可以很好地涉及学生智能计算思维的各组成要素．

表2 数学史融合方式及其与智能计算思维间的联系

4 基于数学史培养智能计算思维的价值

基于数学史设计教学案例培养学生的智能计算思维体现了“方法之美”“知识之谐”“探究之乐”“能力之助”“德育之效”．

(1)方法之美．一方面，古人面对数学问题时给出了不同的解答方法，如求最大公约数，古人采用了更相减损术和辗转相除法；另一方面，传统的数学思维和智能计算思维求解问题的方法具有差异．通过问题的多种解法，学生能感受不同方法间的共性与差异，体会传统的数学思维和智能计算思维之间的区别，呈现出“方法之美”．(2)知识之谐．一方面，学生通过学习案例中的数学史问题学习新的知识，重温勾股定理、出入相补原理等旧知识；另一方面，通过智能计算思维解决问题可以加深学生对知识的理解，体现出“知识之谐”．(3)探究之乐．一方面，数学史为探究性活动提供了丰富的资源依托，案例中的数学史问题解法多样、探究意味浓厚，学生也可以体会历史上数学家对问题的探究过程；另一方面，智能计算思维与当代计算机技术紧密联系，提供探究工具，具有丰富的探究价值与探究空间，体现出“探究之乐”．(4)能力之助．一方面，案例中的历史问题可以培养学生提出问题、解决问题的能力，帮助学生感受古人解决问题的智能计算思维；另一方面，通过智能计算思维解决问题可以培养学生收集数据、建立模型、设计算法、评价优化等多种能力，体现出“能力之助”．(5)文化之魅．一方面，案例中的数学史问题历史悠久，体现了数学与现实生活的联系，展示出中国古代数学实用性强的特点，教学设计也充分体现了M·克莱因的数学文化原理；另一方面，智能计算思维的教学设计中同样呈现了多元的学习文化，既有中国传统文化注重循序渐进的课堂讲授，也有西方注重实践探索的探究活动．(6)德育之效．一方面，教学设计落实“立德树人”这一思想，通过数学史培养学生形成正确的价值观，理解数学也是在困难与挫折中不断向前发展的，体会数学家勤奋努力、不怕挫折、勇于攀登的精神；另一方面，培养学生的智能计算思维，帮助学生体会人工智能时代智能计算思维的重要性．

5 结语

吴文俊说：“贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想 ，另一是机械化思想．”[5]人工智能时代这种机械化的思想更应该被人们所重视，因此本研究选取合适的史料，基于数学史进行案例设计，培养学生的智能计算思维，让学生体会古人解决问题时所具有的计算思维方式，认识到传统数学思维和智能计算思维之间的差异．但是在设计过程中尚未开展实证研究，因而存在值得完善的地方.正如魏茵托普所说：“这只是将计算思维引入数学课堂的第一步，要实现这个目标还需要教师、学校管理者、决策者等一系列利益相关者的支持．”[3]我们有理由相信，从HPM视角下培养学生的智能计算思维无论是对于当前的教学实践、案例开发，还是对今后教科书的修订和编写，都具有重要的参考意义．