『近』在『咫尺』之际 『数』在『区间』之间——《求一个大数的近似数》教学思考与实践

周伊娜

求近似数的学习，不仅要让学生“知其然”（近似数的含义，四舍五入法），还要利用数轴，渗透数形结合的思想方法“知其所以然”，更要利用有效情境，激活思维，主动建构，充分经历“知其所以然”的过程。

【课前初思】

一、研析教材异同

通过对比分析不同版本的教材编写思路，笔者发现：人教版教材之所以舍弃了对近似数的概念理解，弱化了数轴的辅助作用，是因为在二年级下册时学生已经对准确数和近似数有了初步的认识，会判断哪些是近似数哪些是准确数，会对准确数进行简单的估计。作为教师，在四年级教学“将大数改写成近似数”时，是否可以自信笃定地认为学生对所学知识已经有了牢固的认识和理解？是否可以直接呈现四舍五入的规则，而不去考虑学生真正的已有认知水平呢？

二、诊断学习基点

为了更准确地了解学生已有认知情况，笔者在教学前对学生和教师进行了前测，内容及结果如下：

前测题目：小明大约有100000 根头发，小红有102000 根头发。它们分别是近似数还是准确数？前测结果：87%的学生认为“100000”是近似数，“102000”是准确数。只有13%的学生认为头发的数量永远是近似数，因为它们无法统计，随时会掉落和再生。

前测题目: 你知道四舍五入法吗？你能解释一下这种方法吗？前测结果：所有学生都听说过或了解过四舍五入法，但解释大多是“末尾是0、1、2、3、4 要舍去写0，末尾是5、6、7、8、9 要向前一位进一”。只有33%的学生能举例子说明：因为390 更接近400，所以390≈400。

前测题目:你知道为什么是“四舍五入”而不是“五舍六入”吗？前测结果：75%的数学教师表示一直是以这种规则教学的，并没有深思。只有25%的教师提到了规则的唯一性。

不难发现：相当一部分学生对于近似数含义的理解仅限于文字表面，只注意有“大约”“左右”这样的字眼就认定是近似数，没有则是准确数。可见，对近似数的认识不够深刻全面。

很多学生在师长口中听过四舍五入的说法，但未曾真正内化知识。是因为学生只知道概念，而缺少了数轴的形象辅助和自主探究的过程。包括数学教师在内的大部分成人早已习得并在生活中反复使用的方法却只停留在理解和会使用的阶段，对为何会规定“五入”并不深究。

基于以上认识，笔者将本课的教学过程设计如下：

【课堂实录】

一、辨析数据，体悟含义

师：这些数都是近似数吗？说出你的理由。

（1）四年级大约有学生180 人，全校大约有学生1000 人。（2）大天鹅最高能飞9000 多米，它可以飞跃8800 多米的珠穆朗玛峰。（3）人的头发大约有10 万根左右。（4）小明身高140cm，体重35kg。（5）地球赤道全长40075 千米。

生1：（1）（2）（3）是近似数，（4）（5）是准确数。

师：有没有不同的想法？

生2：（5）虽然没有用“大约”这样的词，可是地球赤道的全长不一定刚刚好是40075 千米，可能还多几百米、几十米、几米。我猜想40075 千米应该是个近似数。（此时不少同学点头表示同意他的说法）

生3：我也觉得40075 千米是近似数，因为地球赤道那么长，用任何一种测量工具估计都没办法真正测量准确。

生4：如果测量会有误差，那身高和体重的测量结果也是近似数。

师：（小结）我们在测量物体的长度、重量等时，由于测量工具的限制必然会产生误差，所得的结果也都是近似数。像上面（4）（5）中的数，虽然没有表示大约的词，但都是近似数。

【设计说明：呈现一组有代表性的近似数，让学生在寻找近似数的过程中通过辨析比较来感悟近似数的含义以及这一概念引入的必要性，从而唤起对近似数的熟悉感和探究欲。】

二、直观建构，“近”在“咫尺”

1.情境引入，激活经验。

师：我骑电瓶车回家，突然下起了大雨。车上既没有雨伞也没有雨衣，路旁也没有可以躲雨的地方。我是该继续前行往家去呢？还是回学校去借雨衣？

生：回学校。

师：那如果我到这儿时还在下雨呢？

生：回家。

师：为什么你们怎么一会儿要我回学校，一会儿却要我回家？

生：第一种情况老师离学校近。第二种情况老师离家近。

师：意思是骑了一半不到就离学校更近，回学校。超过一半路程就离家更近，直接回家。都是为了让老师少淋雨。

2.一请数轴，初步感知。

师：感谢大家的建议，如果这条路变成了一条数轴，11 到19 这九个数与10 接近还是与20 更接近？你有什么发现？

师：如果10 是出发点，20 是终点，沿着数轴从左往右跑，跑到了“15”，你是希望朝目标20 努力前进，还是倒退到10 呢？

师：（小结）像这样个位是1 到4 的数更接近前一个整十数，我们就把尾数舍去，简称“四舍”，它们的近似数都是10。个位是6 到9 的数更接近后一个整十数，它们的近似数就是20。而像15 这样刚好在中间的数，数学家认为在生活中为了便于应用和交流，必须考虑它的唯一性，就规定“就高不就低”。也就是说：若个位大于等于5 时就让它约等于后一个整十数。称为“五入”。

师：（课件出示将数轴延伸到30）还有哪些数的近似数是20？

【设计说明：创设“该去哪儿”的问题情境，让学生在一个贴近生活、生动有趣的情境里感悟并探索，有效地激活了已有的生活经验。接着将实情实景转化成数轴模型，通过寻找哪些数更接近10，哪些更接近20，直观地建构了“四舍五入”的方法，体会到了成人口中常提到的“四舍五入”不单单是一种死板的规定，而是具有很强的合理性。再拓展一步，利用数轴表象将数拓宽，让学生初步感知“近”在“咫尺”之间，即近似数所对应的准确数是一个区间。】

3.二请数轴，首猜车价（解决看哪一位的问题）。

师：电瓶车出行有时候确实不太方便，我考虑买辆车。上周末我就看上了一辆，它的价格是一个大数，这个数藏在这几个数字卡片里。（把数字卡片反贴在黑板上）这辆车的价格最高位是什么位？(十万位)（翻开万级的数）万级上的数是12，这辆车大约要多少万？

生：这辆车大约12 万,也有可能是13 万，如果后面的数字很大的话就接近13 万。

师：只给你们一次翻牌的机会。小组商量一下，怎么翻？

组1：我们小组认为只翻开千位。如果千位上的数字是1 到4 的话就约等于12 万，千位上的数字是5 到9 的话就约等于13 万。

师：（翻开千位,是3）百位、十位和个位上的数真的不用翻了？为了更好地理解，我们再次请出数轴。

要求：把这条数轴补充完整并找到车价123600对应的点，填在《学习单》上。

师：现在你能结合数轴来说说为什么只看千位就能知道大约是几万了吗？

生1：只要千位上是1 到4 的数都在125000 的前面，更接近12 万。如果千位上的数大于等于5，这些数都在125000 的后面，近似数就是13 万。用四舍五入的方法，百位十位个位上的数都可以忽略不计。

师：千位上是0 呢？

生2：千位是0，表示这个数在120000～121000之间，也一定约等于12 万。

生3：补充一下，千位上是0 到4 的数都在125000 的前面，更接近12 万。如果千位上的数大于等于5，就约等于13 万。

师：如果这个数刚好是125000 呢？

生4：按照“四舍五入法”规定，就高不就低，约等于13 万。

师：（出示实际车价：123570 元）通过刚才的例子我们知道了要想求得一个大数约是几万就只需要看它的千位。那要想知道一个大数约是几千或几百，应该看什么呢？能举例说明吗？

生：想知道一个数大约几千就要看它的后面一位——百位。要想知道大约是几百就要看十位上的数字。我以车价举例子123570≈124000 123570≈123600。

出示：123570≈120000 123570≈124000 123570≈123600

问题：

（1）为什么同一个数它的近似数不一样？

（2）请在数轴上标出实际价格对应的点和每一个近似数对应的点，你有什么发现？

小结：都是123570 的近似数，但是保留到哪一位不同，精确度就不同；保留的位数越多，越接近原来的准确数。

（3）姚明身高226cm，周老师的身高162cm，那么我们两个的身高都说成大约2 米合适吗？

生：不合适。姚明2 米多26 厘米，你离2 米还有将近40 厘米呢！差距很大。

师：那我俩身高分别大约多高，这句话怎么说更合适呢？

生：姚明大约高230cm，周老师大约高160cm。

师：看来生活中求近似数时要保留到哪一位，还需要灵活运用，不然要闹出大笑话了。

【设计说明：以猜车价为线索，将研究近似数的数域从几十扩大到了几万。首先猜车价，引导学生自主构建“求一个大数大约是几万应看千位”这一认知重点。在此基础上顺势而为，通过在数轴上找对应点，在渗透数形结合的思想中潜移默化地培养了学生的数感；接着学生观察比较各点的位置，充分发挥数轴的直观作用，从而突破了“保留的位数越多越接近原数”这一认知难点；最后以身高的典型数据作为比较材料，让学生体会近似数的精确度要根据具体情况来确定，而不是随意而取，使学生对近似数有了更深刻的理解。】

三、多维思辨，应用拓展

1.三请数轴，再猜车价（解决原数最大是几最小是几）。

师：我的预算是十万左右，该车售价已经超出了我的预算。所以销售员推荐我另外一款。你觉得这次销售员推荐我的车，车价会是多少？

出示数轴：

（1）独立思考，并在数轴上标出可能的价格。

（2）和同桌说说你的想法。

投影演示作品：

师：观察上面这两个图，你有什么想法？

生1：大约10 万的数有很多，是一个范围。

生2：第一幅不对。105000≈11 万，在划出它的范围时，要像②号一样，把这个数去掉。

生3：大约10 万的数最小是95000，最大是104999。

师：数轴在我们学习近似数时非常有用。在数轴上不仅可以找到某个数字对应的点，还能找到近似数对应的范围。找到最小可能数和最大可能数之间的范围就能表示所有近似10 万的数了。

【设计说明：延续了买车猜车价的主情境，探究了“准确数最小最大可能是几”的问题。数轴的形象直观的特点能够帮助学生在头脑中迅速构建模型，有意识地在近似数的“前”和“后”去寻找准确数可能的范围，再次体会“近”在“咫尺”之际，“数”在“区间”之间。】

2.融合生活，灵活估计。

（1）这家4S 店刚好在开展促销活动。促销办法：购车满8 万减2000，满9 万减3000，满10 万减4000，以此类推……

问题：①我选的那辆车车价是97210 元，大约是10 万元。为什么不给我便宜4000 元？②在数轴上指一指，哪些范围符合减2000，哪些范围符合减3000……

小结：生活中不是只用四舍五入法取整数，像这种去尾法也是取整数的一种重要方法。

（2）既然要买车，我打算把几张存折拿出来。算算够不够？

师：太好了，钱够了。

生：不够，加起来是90600，小于97210。

师：你有没有好办法来避免误差过大？

生：先根据四舍五入的方法保留到千位。把14700 和15500 都看成大约15000，凑成30000。25300 和35100 分别看成25000 和35000，凑成60000，一共是90000。

（教师介绍“四舍六入五成双”的方法）

【设计说明：本环节有两个层次：一是先由促销情境去探究去尾法更具备合理性；二是通过求存款总数的情境，对都是近似中间数的加数进行加法估算。由于与原认知产生了冲突，学生就特别愿意积极主动去创造更优化的方法。最后由师生共同归纳出：求这样特殊加数的总和时，可以用“四舍六入五成双”的方法。通过这样两个生活案例，使得学生求近似数的认知结构得到了完善和拓展。】

【课后漫思】

一、融“情境化”于“数学化”

人教版教材中“地球太阳的直径大约是多少万米”这样的案例，仅静态地呈现了“四舍五入”的规则，并不利于学生激活其数学知识和数学能力进行自主探究，也不利于对知识活学活用。因此，本节课的教学以“买车”这一生活化的情境贯穿始末，切切实实将生活情境和数学问题有机地、巧妙地融合。这一以贯之的大情境本身就是一组“连环炮”。通过对这组任务的探索和练习，学生经历了“猜想——探究——归纳——优化”的过程。发挥“一材多变”、“一材多用”、“一材多效”的功能，步步激活思维，层层深化思维，有效地建构起求“近似数”的方法，夯实了学生对近似数的深度认识。

二、去“概念化”取“直观化”

著名数学家华罗庚说：数缺形时则少直观。数形结合思想是数学学习中一种重要的思想方法。数与形是数学中两个最古老，也是最基本的研究对象，而且它们在一定条件下可以互相转化。本节课通过“以形助数”，摒弃简单直接的概念化教学，采用直观化的数轴模型融合，实现了复杂问题简单化、抽象问题具体化。在全篇教学中，尽可能地整合知识，将“小数轴”变身成了“大支架”。数轴的三次出现是学生认知的三次飞跃。一出数轴是为了让学生感悟到“四舍五入法”的合理性；二出数轴有利于学生对近似数精确度的认知；三出数轴更是突破了“数只是一个点的”固有观念，建立起了一个近似数对应的是一个区间的新理念。这种“由点及线”的观念得以进化，是充分发挥数轴的直观功能的结果。在这个过程中促进学生的数感和几何观念的发展。

三、弱“规则化”强“合理化”

本节课的教学重点“四舍五入法”实则是一种规则教学。然而，若采用“呈现规定——做出解释——举例说明——模仿应用——反复操练”这样机械化的教学方式，必然导致学生被动接受，无法激发学习热情，也无法将知识真正吸收内化。因此，如何将规则化的知识转变成合理化的探究是设计时需要思考的又一重要问题。本节课在依赖数轴这根拐杖探究“四舍六入”这一规则时，学生感到合情合理，水到渠成。而对于个位是5 的中间数起初学生是心存疑惑的，基于学生的生活体验，在创设的骑电动车情境中学生自然希望往终点跑去，感受到了“五入”的合理性。同时，拓展练习中呈现的两道习题，把求近似数就用“四舍五入法”这种规则意识打破了，而是要求学生根据实际情况合理运用估计方法，实现了变规则化为合理化，变接受性学习任务为探究性学习任务。