似静非静，动则无限——“线段、直线和射线”的教学

□周洁 罗永军

亲眼所见却不是真相，这样的数学概念常常令人困惑，直线和射线就是这样的数学概念。这两种线明明在纸上看起来是有限长度，却要理解成一条无限长的线，这对小学生来讲有一定的困难。

是不是因为“无限”这个词比较抽象呢？大多数人认为学生对于“无限”较难理解。其实学生对“无限”是有认知基础的，因为在这之前学习自然数和整数时，小学生知道自然数的个数“数不完”，可以一直数下去，没有最大的自然数，等等。这种没有边界的现象就是“无限”，小学生能体会。但是，直线、射线和自然数不一样，最大的自然数本来就看不到，因此“无限大”，而对于直线和射线来说，眼睛能看到。要把眼睛看到的“有限”想象成“无限”，这有点难！怎么办？能不能以“运动的观点”教活这三种线呢？我们做了教学尝试。

【教学目标】

1.通过线段、射线、直线的认知，发展以空间想象为主的空间观念。

2.通过画线段，进一步认识线段，理解线段有两个端点、长度有限、可度量的特点。

3.认识射线和直线，经历画“射线”“直线”的活动，能以运动的观点想象两种线能无限延伸；知道线段、射线、直线的区别和联系。

【教学过程】

一、唤醒经验：点动成线

1.在屏幕上出示1个点，运动这个点，请学生把看到的（点的轨迹）记录在学习单上。

师：你看到了什么？这些线都认识吧。这些线是怎么产生出来的？（还有哪些方法也能产生线？平面和平面相交或切割）这些线有些是直的，有些是弯曲的。今天我们先来学习这些直的线。

2.你知道有几种直的线？引入课题：线段、直线和射线。这三种线中，你最熟悉的是什么？

（设计意图：从线的形成过程来引入，主要是让学生能用运动的观点来观察与思考，进而感悟两种几何对象之间的联系，即点动成线。）

二、聚焦线段：寻找特征

1.画线段。

请学生画两条线段。

师（展示学生作品）：这些都是线段吗？它们有什么相同的地方，又有什么不同的地方？

学生交流讨论后认识线段的本质特点，线段是直的线，有两个端点，长度有限，可度量。长短和方向可以不同。

教师聚焦：你觉得线段的哪个特点更重要？为什么？

经过讨论，学生认为有2个端点更重要，2个端点才能组成线段，有2个端点才能度量，才有长度。

2.命名线段。

师：用端点名可以表示线段的名称。一个点我们用大写字母A表示，另一个点用大写字母B表示，这时候，这条线段就有了自己的名字，叫作线段AB，也可以叫作线段BA。当然，我们也可以用其他字母表示。请给你画的两条线段也标上字母，然后读一读。

3.找生活中的线段。

师：在生活中你们见到过线段吗？（说一说，再摸一摸端点）老师也找了一些，你看到线段了吗？生活中的线段无处不在。

小结：回想一下，刚才我们从哪些角度思考了线段的特征？抓住这些特征，我们就能很快认出线段来。

（设计意图：在课前调研中发现几乎所有学生都听过这三种线的名称，线段也基本上能画出来，因此就从线段开始研究。课上通过引导学生画“两条不一样的线段”唤醒学生已有的知识经验，引发学生自主思考“不一样”是指哪里不一样，都是线段会有什么相同点，聚焦到线段的基本特征：有两个端点，长度可度量。在之后的长度对比中学习线段的命名规则，通过标一标、读一读、找一找等活动帮助学生进一步认识线段，小结研究线段的方法，为后续学习射线和直线奠定基础。）

三、迁移类比：认识射线、直线

1.认识射线。

师：老师手里有一支激光笔，产生了一条光线，这是什么线？（有的学生认为是线段，有的认为是射线）

师：这条线有什么特征？（把发射孔看成一个端点，手指挡住的地方也有一个端点，它有两个端点，这是一条线段）

师：（移开水杯，射向黑板）现在呢？（还是线段）射向空中，那么现在呢？还是线段吗？你是怎么想的？

师：像这样从一点出发，向另一端无限延伸的直的线，我们可以看成是射线。那么射线有什么特点？（射线只有1个端点，长度无法测量）

师：想一想，生活中见到过射线吗？（学生举例：激光笔、灯塔的灯光等）我们可以把光线看作近似的射线。但在生活中没有数学意义上的射线。

2.认识直线。

师：谁来说一说，你心目中的直线是什么？

师：那么数学上的直线是什么意思呢？（直线是一条直的线，可以向两端无限延伸）

师：直线有什么特点？（没有端点，无法度量，无限延伸）

师：生活中我们找不到，神话中有。（播放动画：孙悟空对金箍棒吹口气，金箍棒在不断变长）直线就像孙悟空的金箍棒，能不断延伸，可以无限长。

3.画射线和直线。

（1）画线。

任务：请你在练习纸上画一画射线和直线。

反馈：

画法1：画得很长

画法2：文字表示

画法3：箭头表示

画法4：省略号表示

师：你认为上面这些图哪些画出了射线和直线的意思？（组织学生观察讨论同学用什么方式表示无限延伸）同学们的想法都很好，都在用自己的办法表示无限延伸。

师：数学上是这样来表示三种线的，你能看出来是什么线吗？（线段、直线、射线）

（2）命名。

师：射线和直线也想要有自己的名字，可以怎么来表示呢？

射线：用端点和射线上的一个点来表示，读作射线AB。想一想，能不能叫射线BA？射线取名的时候要注意，端点写在前面，线上的点写在后面。

直线：用小写字母l（line）表示直线，读作直线l。

（设计意图：本环节通过激光笔演示，引发学生思考这是什么线，观察从静态的线段到动态的射线，进而想象射线在无限延长，并顺势引出直线概念。虽然学生知道了直线是没有端点的，但没有端点的线意味着可动态延伸，这一特性学生较难直接感悟。因此在教学中让学生先结合生活举例，再辨析，发现生活中没有这样的实例，不过可以想象，就像神话中金箍棒能不断变长那样。先把动态延伸的意象和数学概念的抽象建立连接，再让学生画一画这两种线，将想象外显化为具象。在动态地从意象—抽象—具象的连接过程中，学生逐渐达成意义理解。）

四、对比辨析：寻找三线关系

1.观察与思考：直线上包含射线和线段，你看到了哪些线？有几条？

学生反馈：

师：在直线AB上，我们还找到了线段和射线。这告诉我们什么？（线段和射线是直线的一部分）

2.延长线段得到射线或直线。

师：如果只有一条线段，你能想办法变出射线和直线来吗？将线段向一端无限延长，就能得到射线。如果向两端都无限延长，我们就能得到直线。

3.画线。

（1）画一条线段，再画一条不相交的线段。

（2）画一条直线，再画一条不相交的直线。

（设计意图：在找一找这个环节中，以“你能看到什么线？有几条？”这一开放性的问题考查学生对三种线特征的掌握情况，在学生汇报后组织学生二次思考，经历充分的讨论后，感知直线包含射线和线段。以线段为基础，延长可以得到射线或直线。之后，请学生画两条不相交的线段，再画两条不相交的直线，让学生在对比中明晰直线可以向两端无限延伸，培养学生的空间想象能力。）

五、课堂小结

师：学到现在，你对这些线有了哪些认识？

师：三种线也很想认识你们，它们有几句话想和你们说。它们是哪些线呢？

做事，要像我“有始有终”，踏踏实实。学习，要像我“有始无终”，终身学习。想象，要像我“无始无终”，丰富无穷。

希望同学们在学习和生活中能学习这三种线宝贵的品质。

【课后反思】

线段、直线和射线是经典老课，很多名家都有研究。我们在研读前辈的教学设计的基础上有了新的启发，把运动的观点作为这节课的基调，重新审视这3个相关联的数学概念，把“运动”作为理解“无限”的主要方法，即把动态地想象和静态的图像相结合，让抽象的数学概念具体形象，这样的学习比较符合小学生的认知特点。这样的设计，在多所学校试教，虽然学生的起点不一样，程度不一样，但效果都不错。