高等数学中概率思想计量可视化分析

张荣芳

【摘要】概率论是高等数学的一个分支，概率论思想可以广泛地应用于数学解题过程中.概率论思想能够有效地指导学生解题，帮助学生更快速地破题、更准确地解题.同时，在高等数学教学过程中，教师应该将概率论的思想逐步运用到高等数学中，帮助学生掌握解题技巧，提升解题能力.我们通过对高等数学中概率研究的计量可视化分析发现，高等数学中概率思想的研究起步较早，但早期的研究更多的是将两者并列分析，相关联系研究较少.近几年各研究者开始注重概率思想在高等数学中的应用，相关论文数量不断增加，这也体现出人们对于两者相关性的重视.

【关键词】高等数学;概率思想;计量可视化分析

概率论是对随机现象在数量上的统计规律展开研究的一门学科，很多概率论的思想、方法很适用于高等数学问题，并且概率思想可以为学生解题提供更便捷的思路和更广阔的思路.比如概率思想在高等数学证明中的应用，高等数学证明问题，如果单纯利用高数的证明方法有时候很难得到正确的解答且多数步骤繁杂、过程冗长，但若应用概率思想便会使得复杂的问题变得相对简单.高等数学教师也应该在教学中注重概率思想的灌输和概率论方法的应用，引导学生简化解题方法，提升数学思维能力，提高学习效率.

一、主题检索可视化分析

（一）发表年度趋势分析

在知网中运用高级检索，在第一检索栏中输入主题词：高等数学，第二检索栏中输入主题词：概率，两栏检索关系设为并且，发表时间、文献来源、支持基金均不限.经检索共得到知网文献库文献108篇，随后点击知网自带计量可视化按钮进行分析.由分析可知，最早进行高等数学与概率相关研究的文献出现在1959年，朱恒璧（1959）发表题为《高等数学在医学应用上的我见（续）》的文章.随后一直未出现该领域相关论文，直到1991年出现第二篇，之后在1992—2002年间零散出现过几篇文章.贺振富（1991）发表题为《化工类专业化工计算教学浅谈》的文章，文章中指出化学计算这门课必须要求学生学好高等数学、概率统计等相关数学知识;曹大英（1994）发表题为《概率方法在初等数学中的应用》的文章，文章中通过许多实例探讨概率方法在初等数学中的应用.自2003年开始，相关领域文章数量逐渐增多，2003年发表论文6篇，2014年达到发表论文数量的顶峰，一年中共计发表论文13篇.

总体分析论文数量可以得出，对高等数学中概率研究主题的相关分析大致可以分为3个时期，第一阶段为1956—1999年，该阶段为萌芽期，在该阶段主题中同时含有两个关键词的文章数量较少，一般为各自领域的研究，相关性方面研究未得到关注;第二阶段为2000—2013年，该阶段为增长期，在该阶段主题中同时含有高等数学和概率的文章数量不断增加，但每年的发文数量出现波动，说明在该阶段，两者间相关性研究开始得到关注，但关注程度仍然不高，研究还处于平缓阶段;第三阶段为2014—2017年，该阶段为爆发期，在该阶段高等数学中概率研究相关论文数量快速增长，且在2014年出现几十年的巅峰状态;第四阶段为2018年至今，该阶段为平缓期，论文数量又开始减少，但值得注意的是，由于该阶段时间比较短，所以会存在一定误差.

（二）领域分布占比分析

运用上述分析中的同样方法进行主题分布占比分析，我们发现以高等数学、概率为主题词进行检索后得到的文献分布领域范围很广，共包含30个不同的方面，其中占比最多的是高等数学，共发表论文48篇，占所有检索文章的23.08%;其次为概率统计，发表论文24篇，占所有检索文章的11.54%;另外两个占比达5%以上的领域分别为概率论、随机变量，分别发表文章17篇、14篇，占比分别为8.17%，6.73%;其余领域的占比均小于5%，其中教学内容、概率密度、古典概率、统计分析、离散型随机变量、無穷级数占比最小，均小于1%.

（三）高等数学与概率思想主题分析

将其中一个主题检索词更换为概率思想进行检索，共得到论文9篇.其中最早出现概率思想的文章是杨绪仁（2003）发表的《中学物理教学中的高等数学思维》[1]，文章提出中学物理中很多地方都存在某些高等数学的思想，如：微积分思想、无穷思想、概率思想等，这些常见的数学思想不是从抽象的、思辨的、广泛的数学模型出发，而是在具有清晰的物理概念、图象等的基础上，确定合适的研究对象，以便为学生提供一种创新的解决物理问题的方法.2010年，卓泽强、魏文玲等人发表《概率思想在高等数学计算中的应用研究》[3]《概率思想在高等数学证明中的应用研究》[2]，之后不同研究者就概率思想在高等数学中的应用问题展开相关研究，概率思想的应用逐渐得到重视.

二、全文检索可视化分析

（一）发表年度趋势分析

在知网中运用高级检索，设置检索条件为全文，在第一检索栏中输入主题词：高等数学，第二检索栏中输入主题词：概率，两栏检索关系设为并且，发表时间、文献来源、支持基金均不限.经检索，共得到知网文献库文献18680篇，随后，点击知网自带计量可视化按钮进行分析.由分析可知，全文中最早含有高等数学与概率两个词的文献出现在1980年，且发表论文数量呈现逐年增长的趋势，我们总体分析论文数量可以得出，高等数学中概率研究相关分析大致可以分为3个时期，第一阶段为1980—1998年，该阶段为萌芽期，在该阶段每年的发文数量均比较少，呈现出平缓的趋势;第二阶段为1999—2013年，该阶段为增长期，在该阶段发表文章数量不断增加，呈现出增长的趋势;第三阶段为2014—2019年，该阶段为平缓期，发表论文数量又呈现出平缓的趋势，但相较于前面几年，每年发表论文的数量仍然可以保持在较高的水平.1980—2019年，年发表论文数量最多的为2013年，共发表论文1289篇.

（二）领域分布占比分析

运用上述分析中的同样方法进行主题分布占比分析，我们发现，检索条件设置为全文后，以高等数学、概率进行检索，各领域发表论文数量占比相差不大，均小于10%，其中以高等数学占比最大，发表论文数量为852篇，占比约6.99%，其次占比较大的领域依次为数学教学，发表论文数量为813篇，占比6.67%，分科教学法，发表论文数量为749篇，占比6.15%，数学建模，发表论文数量为733篇，占比6.02%，概率论与数理统计，发表论文561篇，占比为4.61%;占比最小的为数据挖掘领域，发表论文228篇，占比仅为1.87%.

（三）高等数学与概率思想全文分析

将其中一个主题检索词更换为概率思想进行检索，共得到论文207篇.其中最早出现概率思想的文章出现于1985年，1985—2002年，发表论文数量一直呈现平缓的趋势，每年发文数量基本是1篇，2002年后，发文数量出现增长趋势，但波动明显.其中，发文数量最多的是2011年，共发表论文20篇，关注程度最高，该结果与第一部分中主题可视化分析不同，可能是因为将检索条件进行计量可视化分析后，只要文章中出现概率思想一次便会被标记导出，所以可能存在不足，比如某些文章的研究主题并非二者关系.

三、概率思想在高等数学中应用策略分析

（一）运用概率思想巧证复杂过程

《概率论》中一个基础的概念为概率分布，在解答高等数学中的证明问题时便可以利用概率分布的特殊性质求解证明.如在进行函数的4个重要性质证明时，如果先对第四个性质中的积分变量做变换，然后再证明第三个性质的结论，得到相应结果，过程会十分冗长，但如果利用概率密度函数的归一性，可以很容易证得结论.此外，概率思想也可以在求解一些广义定积分时发挥关键作用，可以减少证明难度，简化证明过程，提高准确性.即我们可以利用需要证明的广义定积分式子本身的特性，将其进行适当的变形，使被积函数成为某个随机变量的概率密度函数[4].最后，概率论中的数学期望、数学方差均是随机变量的数字特征，利用随机变量的数字特征可以解决高等数学中有关等式、不等式的证明问题，还可以证明以前只能利用排列组合相关知识解决的古典概型恒等式的问题[5].

（二）运用概率思想巧解高数计算

除了可以证明一些复雜的高数问题外，利用某些概率分布的特殊性质来求解一些高等数学中的化简问题，即把某些大于0小于1的数字构造成某一特定事件发生的概率，根据概率分布的特殊性质计算此类复杂问题.如利用泊松分布的一些性质、中心极限定理、级数的收敛性来计算复杂的极限问题;还可以利用概率思想求解某些广义定积分，通过该种方法可以达到减少计算难度，提高计算的正确率的目的，即通过变形使被积函数成为某个随机变量的概率密度函数，利用概率密度函数归一性求解;用随机变量的数学期望与方差之间的关系，不仅可以解决高等数学中的求级数问题， 而且还可以求广义定积分的值;高等数学中还会出现一些比较难的有关二重积分的计算题，遇到此类问题可以通过建立概率模型，将正态分布的性质和卡方分布的相关数学性质相结合，这样便可以把题目中繁杂的二重积分问题转化为简单的某点在某特殊区域的概率问题，再结合概率的一些知识进行计算即可.

四、小结

在解决高等数学相关证明、计算等问题时，运用传统的机械运算、证明方法必然是相对繁杂的且不能保证计算过程、计算结果的正确性，而概率思想在高等数学中的运用可以在很大的程度上弥补这一不足.通过对相关文献的计量可视化分析，我们发现近几年概率思想在高等数学中的应用研究不断增加，这也体现出我们对于概率思想应用的重视，今后我们应该不断完善这一思想在高等数学中的运用，学生应通过题型练习和思维培养不断掌握该种方法，以达到提升学习能力的目的.

【参考文献】

[1]杨绪仁. 中学物理教学中的高等数学思维[J]. 合肥教育学院学报， 2003（4）： 110-112.

[2]卓泽强， 魏文玲， 李小龙. 概率思想在高等数学证明中的应用研究[J]. 科技资讯， 2010（30）： 177.

[3]卓泽强， 魏文玲， 李小龙. 概率思想在高等数学计算中的应用研究[J].科技资讯，2010（20）： 196-197.

[4]王双. 浅谈概率思想在高等数学中的应用[J]. 读与写 （教育教学刊）， 2017（11）： 4+21.

[5]卓泽强. 概率思想在数学证明和计算中的应用[J]. 数学的实践与认识， 2007（13）： 189-192.