浅谈从一元微积分到多元微积分的过渡

杨卫星

【摘要】众所周知，高等数学的主体部分是微积分学，包括一元微积分学和多元微积分学，其中多元微积分学是高等数学教学中的重点和难点.本文介绍了从一元微积分向多元微积分过渡的类比法、化繁为简法、找不同法、数形结合法和整合法.以上方法可以帮助学生较轻松地完成多元函数微积分学的学习.

【关键词】高等数学;一元微积分;多元微积分

【基金项目】本文得到了北京化工大学理学院2019年本科教育教学改革专项研究项目的资助.

一、高等数学教学现状

高等数学是理工科院校的一门重要的基础课程，各个院校基本上都在大一上下两个学期开设高等数学课程，它的学时基本上在80到120不等.它是学生进入大学阶段接触的第一门重要课程，也是学生普遍认为较难掌握的课程.

高等数学的主体内容是微积分学，包括一元微积分学和多元微积分学.其中一元微积分学主要讲授一元函数的极限和连续性、导数与微分、微分中值定理、微分的应用、不定积分、定积分、定积分的应用.多元微积分学主要讲授多元求导法则、多元微分的应用、二重积分、三重积分、重积分的应用、曲线积分、曲面积分等内容.对于一元微积分学，因为学生有高中数学的基础，所以他们相对好理解它.但是，等到学习多元微积分学时，多数学生会觉得很抽象，不好理解，不好掌握.这是因为从一元函数到多元函数，空间结构发生了变化，函数自变量的變化范围由一维空间扩展到了n维空间，所有的问题变得复杂了很多，研究问题的思维方式也变得复杂了，所有熟悉的结论和性质都得经受挑战，一元微积分学中已经被大家接受的定理和结论，在多元微积分学中，多数不再成立.

笔者多年从事高等数学一线教学工作，一直在思考高等数学改革的方向和道路.他对于如何从一元上升到多元，有很深的体会和理解.他经过多年的尝试，总结和摸索出了一些经验和方法，这些经验和方法可以帮助学生顺利完成从一元微积分到多元微积分的过渡.

二、一元微积分到多元微积分的过渡方法

（一）类比法

在讲授多元微积分学时，笔者始终以一元微积分为主线和基础，将其和多元进行对比和分析，抓住本质上相同的一面，讲清楚不同的一面，使学生很自然地把多元看成一元的延伸和推广，降低学习新知识的难度.每讲到一个新的概念和知识点，笔者都会带着学生先把一元微积分中相对应的概念复习一下，看看从一元推广到多元，是怎样的思路，哪些是保持不变的部分，哪些是产生变化的部分，产生变化的原因是什么.这样可以引领学生真正学懂和理解知识，而不是死记硬背一些公式和定理.

比如，在讲解多元函数求极值时，笔者会跟学生一起回顾一元函数极值的相关内容，包括极值的定义、极值的必要条件、必要条件的几何解释、极值的充分条件，然后再引导学生得出二元函数中的上述内容.很自然地，学生总结出一元和多元中，极值的定义是相同的，极值的必要条件是类似的，极值的几何意义是差不多的，但极值的充分条件在多元函数中复杂了很多.学生先用类比法把极值的概念从一元推广到二元，二元函数的极值必要条件和充分条件掌握好之后，他们就可以很轻松地把相关知识点推广到三元及以上，从而很轻松地完成这部分内容的学习.

再比如，讲解二重积分的定义和性质这一节时，先回顾定积分的定义和性质.学生会发现从定积分到二重积分，只是积分区域发生了变化，从一维的区间推广到了平面区域.积分的实质是一样的，定义方法也是一样的，都是分割、代替、近似和、求极限这四步.二重积分的性质和定积分的性质几乎也是一样的，学生可以自己写出二重积分的所有性质，包括线性性质、区域可加性、不等式性质、绝对可积性、估值不等式以及积分中值定理等.

学生理解了从定积分向二重积分的推广之后，他们在教师讲到三重积分以及曲线积分和曲面积分时，就会发现所有积分之间的类比关系，所有的积分定义方式都是一样的，都是积分定义的四步走，积分的性质也是类似的.这样，对于学生来说，虽然越往后知识越难，但是运用了类比法，就会越学越轻松.

在讲到积分的物理应用时，也要经常使用类比法.比如求质量这个话题，可以贯穿整个积分学.如果物体所占区域为平面区域，求质量要用二重积分计算;如果物体所占区域为空间区域，求质量要用三重积分计算;如果物体所占区域为空间弧段或者平面弧段，求质量要用第一类曲线积分计算;如果物体所占区域为空间曲面，求质量要用第一类曲面积分计算.类似的讲法还有求质心、转动惯量以及求引力.

学生学习到重积分和曲线积分以及曲面积分时，普遍感觉到吃力和困难，因为这部分内容不仅理论知识深奥难懂，计算量又偏大，还需要学生有一定的空间想象能力.现在的学时很紧张，学生基本上一节课要学习一种新的积分，包括这种积分的引例、概念、性质、计算和应用，这样会让学生学习这部分内容时难上加难.老师只有合理应用类比法，顺应学生的理解能力，让学生从定积分出发去理解多重积分，才能帮助学生克服学习中的困难和心理上的恐惧，顺利完成多元函数积分学这部分内容的学习.

在教师这样讲授一段时间后，学生的思维和学习习惯得到了很大的训练.在高数下册的后期，笔者会找一些知识点，让学生自己完成上面表1中的导图，使学生自主地完成从一元到多元的过渡分析，让学生自己试着写出新的概念和相应的定理、结论.当学生惊讶地发现自己可以推导出书本上高高在上的定理时，他们就会收获很强的学习自信心.这种良好的学习习惯和思维训练会让学生受益终身，比背几个公式、解几个题目重要得多.

现行的高等数学教材虽然普遍分上下两册进行，但是上下册从知识体系到理论框架都高度统一，因此类比法是一种非常好的学习多元微积分的方法.

（二）化繁为简

教师在讲解多元函数微积分学时，如果直接讲最抽象的n元函数的情形，学生会直接蒙圈，完全不能理解.所以笔者每个知识点都是先从二元函数入手，因为从一元到二元是质变的过程，二元到多元是量变的过程，只要能顺利地把知识点从一元推广到二元，就是最关键的突破，也是问题的实质所在.学生只要经历了从一元到二元的突破，就可以很轻松地把二元的知识推广到多元，从而顺利地得到n元函数的相关结论.

比如教师在讲多元函数极限的概念时，如果直接写n重极限的定义，学生根本听不懂.笔者会先介绍点函数的概念，即把n元函数统一写成f（P）的形式，这样n元函数就很神奇地化为一元函数了！这种写法的好处就是可以直接把一元函数的定义搬来使用，轻松得到n重极限的定义.小小的一个工作，对于学生理解抽象的概念却是个大大的帮助.学生会感到多元函数的极限定义与一元函数的极限定义在形式上是一样的，只要把相应的邻域描述改变一下，并没有什么难学之处.

再比如教师在讲解多元复合函数求导时，如果死板教条，学生会发现这一节有太多的情况和类型，有太多的定理和结论.函数关系错综复杂，尤其是多元函数再加复合函数，更让学生摸不着头脑.教师在讲解这部分内容时，要从最简单的情况入手去分析，让学生学会分析函数关系，并且画出变量关系图.学生只要抓住了变量之间的关系，就可以顺着关系图利用链式法则去求导，而不用非得对号入座去找相应的定理.学生掌握了化繁为简法，就可以较为轻松地面对复杂的复合求导问题了.

这种方法符合学生的学习习惯和人类的思维习惯，越是难理解的知识，教师就越得用最简单的方法给学生讲解，只有化繁为简，化难为易，才能让学生不被多元函数吓倒.

（三）找不同

从一元函数微积分过渡到多元函数微积分，有一些结论和性质是一致的，有一些结论是变化的.对于不变的地方，學生会很顺利地掌握和接受.所以在授课时，笔者让学生更加关注变化的地方.

比如在多元函数求极值的讲解中，极值的必要条件笔者会一带而过，而极值的充分条件笔者会详细讲解.因为多元函数极值的必要条件几乎和一元函数中的结论相同，而多元函数极值的充分条件却有了很大的变化.

再比如由一元函数导数定义推广到多元函数导数定义时，求导的方法没有太大的变化，求偏导的实质就是固定其他变量对一个变量求导，这跟一元函数求导的实质是相同的.但是一些性质有了很大的变化，一元函数中可导等价于可微，二者可以推出连续.但是在多元函数中，可微和可导不再等价，而有了强弱之分，可导也不再能推出连续.笔者会让学生多关注这些变化的地方，集中精力学习这些产生变化的知识点.

找不同这种方法，首先可以让学生建立新旧知识点之间的联系，其次可以让学生很快抓住重点，而不是眉毛胡子一把抓，反而不知道该从哪里学起.

（四）数形结合法

所谓数形结合，是指把所要刻画的数量关系和直观的几何图形相结合，从而方便学生去理解问题.数形结合这种方法能够使抽象的数学问题直观化和生动化，从而把抽象思维变成形象思维.这样能大大降低问题的难度.

教师在讲解多元微积分学时，要让学生学会借助几何图形理解问题，用数形结合的方法学习.比如理解多元函数极值的必要条件，可以用画图的方式说明，其几何意义就是在极值点处有水平的切平面，直观的图形展示会比严格的数学证明更好让学生理解.在讲解重积分以及曲线积分和曲面积分时，笔者每个例子都会画图展示，这样可以更直观地解决问题，而且笔者要求学生写作业时也要每个题目都配上相应的图形.经过这样的训练，学生的空间思维得到了很好的训练，学生的解题能力大大增强.

现在，数学软件可以帮助教师和学生更加方便地绘制图形，使他们充分使用数形结合法去学习.比如在讲解空间曲面中的马鞍面时，学生看到它的方程根本不能理解，不知道是什么样的曲面，笔者会利用软件展示它的图形和空间结构，这样学生就可以了解这种双曲抛物面的内部架构了.还有，教师如果有方便的教具，也可以大大提高课堂效率，帮助学生理解复杂的空间图形.比如，在讲解二重积分的计算时，笔者会把面包片作为教具，让学生观察到二重积分是如何化为累次积分的.

（五）整合法

高等数学上下册的内容看似章章独立，内容繁杂，但其实很多知识点都可以加以整合.教师可以把上下册的内容整理成一个完整的体系和脉络，这样可以方便学生掌握相关的知识点，有助于学生在备考硕士研究生时进行复习.

比如在讲定积分的应用时，学生学会了求平面图形的面积，但需要分直角坐标、参数方程、和极坐标三种情况运用不同的公式去计算.在学完二重积分后，笔者会告诉学生以后求面积不需要再记住那么多的情况和公式，都统一为一种方法，那就是A=dσ.同样的道理，求空间立体图形的体积，学生先后学过了用定积分计算，用二重积分计算以及用三重积分计算，笔者给学生统一为只用一个公式V=dΩ去计算.类似的整合还可以用在求弧长，求曲面的面积，以及在物理的应用中求物体的质量、质心、转动惯量和引力.

经过这样的整合，学生会感觉到如释重负，因为他们不需要记住那么多复杂的计算公式了，而且他们看到了知识之间的联系，知识点不再是一盘散沙，而是一个完整的系统.所以，学生掌握了这样的学习方法之后，会越学越轻松，越学越爱学，沉迷于数学之美、理论之精妙.

三、结语

高等数学中最主要的内容就是微积分学.其中的一元微积分学有中学的知识做基础，相对好理解.但是多元微积分学是学生从未接触过的知识，需要学生更多的抽象思考能力和概括能力.学生普遍感觉多元微积分学偏难，不好理解和掌握.如果教师生硬地直接讲新的知识点和概念，那么将不利于学生的学习.笔者在多年的教学实践中，摸索和总结出一套方法，让学生顺利完成从一元微积分学到多元微积分学的过渡，达到了事半功倍的效果.

这套方法就是上面介绍的类比法、化繁为简法、找不同法、数形结合法以及整合法.笔者经过多年的教学试验，感到效果不错，向大家推广开来.

【参考文献】

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