基于LM算法的近似核FFT频率拟合算法

周小宁，王立权，朱伟华，闫宏雁，张 宇

(上海机电工程研究所，上海 201109)

0 引 言

单比特测频技术是射频回波模拟器中的一项关键技术，测频结果用于多普勒频率的合成，测频精度会直接影响目标运动速度模拟的准确度，因此提高测频精度对模拟器的性能提升具有重要意义[1-2]。单比特测频技术采用高速模数转换(ADC)(1～4 bit)采样和近似核快速傅里叶变换(FFT)算法引起了系统的非线性[3-4]，导致Rife、Quinn等常规频率拟合算法测频精度有限。为此，许多学者做了进一步研究。肖正阳提出的高斯拟合估计法在带宽为2 GHz下测频精度达到1 MHz左右[5]。祝俊、唐斌等人提出了一种基于傅里叶系数内插的频率估计算法，避免了常规算法的复数运算[5-6]。但上述2种算法在频率估计精度方面仍然具有一定的提升空间。

本文在Rife算法的基础上提出了一种基于LM(Levenberg-Marquardt)算法的近似核FFT频率拟合算法，通过特征分类和LM算法[7-9]求解非线性回归问题，实现频率估计。仿真表明，本算法的均方根误差(RMSE)比Rife算法、Quinn算法以及高斯拟合等算法更接近克拉美罗界(CRLB)[6,10]，测频精度更高。

1 近似核FFT

在单比特测频中，ADC的量化位数和近似核阶数共同决定了系统的动态范围，由此可以确定两者之间的约束关系[11]：

(1)

ADC位数和近似核阶数并不是越大越好，当ADC位数大于2以及近似核阶数高于8时，系统的动态性能提升有限。因此，这里选择2 bit ADC和8阶近似核作为研究条件。本文利用一种基于半圆的优化近似核代替基于正方形的常规近似核，降低量化噪声，有利于系统的动态性能。近似核结构如图1所示。

2 算法原理

2.1 算法模型构建

Rife算法通过建立最大谱线和次大谱线幅度比R与频率偏差δ之间的理论关系实现频率估计：

图1 基于半圆的8阶优化近似核

(2)

由于该理论关系建立在常规FFT的基础上，并未考虑近似核算法的影响，在单比特测频系统中应用Rife算法会出现较大偏差，如图2所示。

从图2中可以看出，对于常规FFT，应用Rife算法后频率估计值与理论值基本重合，拟合精度高；而在单比特测频系统中，由于近似核算法的非线性影响，频率偏差理论值呈非对称状态，拟合精度不高。

图2 Rife算法频率估计对比图

由此，在Rife算法理论模型的基础上，构建算法模型：

(3)

式中：δ为频率偏差值；R为最大谱线和次大谱线幅度比；xi为待求解的参数。

根据算法模型，首先选取合适的特征及特征值实现频率偏差的分类，在此基础上，通过非线性最小二乘法实现曲线的拟合。

2.2 频率偏差分类

从图2观察可知，R与δ存在一对二的映射关系，在频率拟合时，根据R值无法确定δ的大小。为了简化分析，将图中较大的曲线标为类别1，较小的标为类别2。这样，在测定R值的情况下，需要选择合适的特征以及特征值对频率偏差δ所属类别进行准确区分。

由Rife算法和Quinn算法可知，信号频谱中最大谱线和次大谱线的幅度以及相位与δ值有直接关系。用Aa和Ab分别表示最大谱线及右邻谱线的幅度，φa和φb表示最大谱线及右邻谱线的相位。选择Aa-Ab、φa-φb及φa/φb3种特征进行仿真分析，结果如图3所示。

图3 不同特征下频率偏差分类效果图

从仿真结果来看，图3(a)中两类数据点无法有效区分；图3(b)、3(c)中除了个别点以外都能够被区分开来。由此可见，特征Aa-Ab不能对频率偏差实现分类，特征φa-φb和φa/φb均能够满足分类要求，而前者需要设置2个特征值，后者仅需要一个。简单起见，选择特征φa/φb对频率偏差实现分类。

考虑到噪声对分类结果的影响，设置不同的噪声水平对分类性能展开仿真，结果如表1所示。

从表1可以看出，随着噪声水平的提升，分类正确概率有所降低，但依然在98%以上；当信噪比大于15 dB后，分类正确概率达到99%以上，且在不同信噪比下，特征值均稳定在0.41左右，故不需要随着噪声的高低而自适应变化。

表1 不同信噪比下的特征值和分类正确概

2.3 模型参数求解

由式(3)知，算法模型为非线性方程，只能通过非线性最小二乘法求解未知参数。非线性最小二乘法的求解算法主要有高斯-牛顿法、LM算法和最速下降法，其中LM算法通过阻尼因子自适应调整达到收敛特性，兼顾了高斯-牛顿法和最速下降法两者的优点，具有前者的局部收敛性和后者的全局特性[9]，所以，这里采用LM算法进行求解。

采用LM算法求解时，需要由式(3)构建目标函数(代价函数)：

(4)

式中：x为待求解的参数向量；Ri和δi分别为输入和输出测量值；m为样本点数。

(5)

对于三元非线性方程组，构建雅可比矩阵，记为：

(6)

为了求解式(5)所示的非线性方程组，将其进行泰勒级数展开，通过参数向量x逐次迭代实现求解。设参数向量x的初值为x(0)，第k次迭代和第k+1次迭代后的值分别为x(k)和x(k+1)，则有算式：

F(x)≈F′(x(k))+J(x(k))(x(k+1)-x(k))

(7)

令Δx(k)=x(k+1)-x(k)，则有：

J(x(k))Δx(k)=-F(x(k))

(8)

式(8)为多元线性方程，方程是否存在解的情况取决于雅克比矩阵J(x(k))的正定性，如果矩阵J(x(k))非正定，算法将出现发散情况而无法执行。为了克服上述缺陷，引入阻尼因子μk，式(8)变为：

[J(x(k))+μkI]Δx(k)=-F(x(k))

(9)

上式展开为：

(10)

进而得：

Δx(k)=-[J(x(k))+μkI]-1F(x(k))

(11)

由此可以得到经过第k+1次迭代后的参数向量：

x(k+1)=x(k)-[J(x(k))+μkI]-1F(x(k))

(12)

设定收敛精度ε0，若参数向量x满足精度要求，则有x*=x(k+1)，并结束迭代过程。经过求解，得到频率偏差类别1和类别2的拟合曲线方程：

(13)

(14)

综上，本文提出的基于非线性二乘法的拟合算法可以概括为4个步骤：

步骤1：搜索单比特FFT频谱，记录最大谱线的位置mN、最大谱线和次大谱线的幅度比R以及最大谱线和右邻谱线的相位比P；

步骤2：根据P值大小确定频率偏差的所属类别；

步骤3：如果频率偏差属于类别1，则将R值代入式(13)，否则代入式(14)，求得频率偏差δ。

3 仿真验证

为了验证算法拟合性能，采用2 bit ADC，采样频率为25 GHz，对采样信号做4 096点近似核FFT，在2～12 GHz的频率范围内随机选取1 000个频点，统计不同信噪比下频率偏差的拟合程度，仿真结果如图4所示。

图4 不同信噪比下本文算法拟合效果

由图4可知，随着噪声水平的上升，数据点的分布越杂乱，拟合难度越大，但本文算法仍然有很好的拟合效果。为了直观比较各拟合算法的频率估计性能，对本文算法、Rife算法、Quinn算法以及高斯拟合等算法展开对比仿真，统计不同信噪比下的RMSE和平均绝对误差(MAE)，结果如图5所示。

图5中，从RMSE对比结果来看，本文算法比其他拟合算法更接近于CRLB，频率偏差波动更小；从MAE对比结果来看，本文算法相对于其他算法，频率估计精度达到0.1 MHz,测频精度更高。因此，仿真结果验证了本文算法的有效性和优越性。

4 结束语

本文针对常规拟合算法在单比特测频中存在测频精度有限的问题，在Rife算法模型基础上，提出了一种基于非线性最小二乘法的频率拟合算法，利用频率偏差分类和LM算法模型参数求解实现了频率的拟合估计。仿真结果表明，本算法测频精度达到0.1 MHz，与Rife算法、Quinn算法以及高斯拟合等算法相比，在频率估计均方根误差和频率估计精度方面具有一定的优越性。

图5 不同算法频率估计性能对比图