绝对值函数问题的思维起点捕捉

浙江省宁波市镇海区骆驼中学 (315000) 丁林蓬

绝对值函数问题中蕴含着分类讨论、数形结合等数学思想，是数学核心素养养成的有效载体，在数学问题中，能够捕捉到绝对值问题的思维起点，有助学学生利用分段函数的观点，充分的理解基本初等函数的性质.

1.捕捉分段点，绘制图形解题

绝对值函数|x|在数学教材以分段函数形式首次出现，能够熟练的捕捉到分段函数的分段点，是解决绝对值问题的思维起点之一.结合高考、学考对于绝对值函数问题的不同要求，这里给出分段点的捕捉思路.

若f(x)，g(x)为绝对值函数，且其分段点分别为x=x0，x1.则(1)f(x)±g(x)的分段点为x=x0和x1；(2)f(f(x))的分段点为x0与f(x)=x0的根；g(g(x))的分段点为x1与f(x)=x1的根.

例1 将下列函数写为分段函数的形式：

(1)f(x)=|x-1|+|x-2|；

(2)f(f(x))，其中f(x)=|x-1|.

评析：能够在比较一般(如例1)的具体情形下，进行绝对值函数的分段是学考要求.相应的，学生也应在此基础上熟悉高考的抽象化要求.

练习1f(x)=-x|x|，若mx2+m>f(f(x))恒成立，求m的取值范围.

解析：按照已有的思维，可以得到：

2.捕捉翻折点，寻找最值解题

绝对值函数有自身的几何意义，如|f(x)-t|是将函数f(x)的图象向上或向下平移之后，进行翻折得到的新的图象.在这层意义下，|f(x)-t|的最大值在原函数的f(x)的最大值或最小值处取得.

如，对于函数f(x)=|x2+t|在区间[-1,2]上的最大值求解，若t≥0，f(x)max=f(2)；若-4

例2 求下列函数最大值的最小值.

(1)f(x)=|x2-3x+t|，x∈[0,4]；(2)f(x)=|sinx+3x+t|，x∈[0,1].

评析：问题(1)原函数在所给出的定义区间上是不单调的，所以找到最大和最小值所在的位置并非端点.问题(2)原函数在所给出的区间上是单调的，所以端点处取最值.能够利用翻折的观点认识函数，是学生几何直观素养的重要培育途径.

3.捕捉切点，利用“数”“形”解题

形如|f(x)+ax+b|这样形式的函数，也可理解为曲线f(x)与直线-ax-b在竖直方向的差值.这时，利用切比雪夫逼近的方法，可以优化运算结构.

例3 记f(x)=|x2-ax-b|(a,b∈R)在x∈[0,2]的最大值为M(a,b)，则M(a,b)的最小值为.

共有102只眼出现了眼底病变,占总数的14.7%,其中22只眼视网膜静脉阻塞22只眼、19眼中心性浆液性视网膜病变、31眼视网膜静脉周围炎、19眼年龄相关性黄斑变性,其他11眼。眼底病变组的高度近视男性患者和高龄患者比无眼底病变组高,屈光度高、眼轴长的比例比较多,(P<0.05)。眼底病变高度近视患者定期检查,及时更换眼镜、用药习惯良好等比例比无眼底病变组低,(P<0.05)。

解法1：(翻折的角度)x2-ax在x∈[0,2]时，

(1)a≤0或a>4，M(a,b)=max{f(0),f(2)}=max{|b|,|4-2a-b|}≥2；

图1

评析：这两个解决问题的方法，也是理解这一问题的两个角度.法1是利用曲线上下移动翻折的角度，法2是切比雪夫逼近的视角.虽然法1的运算过程较为复杂，但是这一问题的代数本质却蕴含在分类讨论的过程中.法2是这一问题几何本质的体现.一定程度上讲，法1是通法，法2是巧法.

练习6记f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)记M(a,b)为|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.

(1)求证：当|a|≥2时，M(a,b)≥2；

4.捕捉衔接点，合理讨论解题

形如f(x)=|g(x)|+t(x)的函数在区间[a,b]上最值得讨论问题，是对学生分类讨论能力进行考察的重要载体，许多参考答案中，讨论的区间都是从天而降，学生能够感叹其精妙去不能生成共鸣.事实上，此类问题也是有迹可循的.立足于衔接点在原函数图像中位置的分布，是解决此类问题的关键所在.

例4 设函数f(x)=|x2-a|-ax-1，a∈R.若f(x)在[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.

解析：f(x)=|x2-a|-ax-1=

图2

评析：利用衔接点与原函数单调性转换点之间的关系进行讨论，是解决这一问题的关键，也是分类讨论的依据.讨论过程中a=1,4的出现是有规律可循的，并非无逻辑的闪现.

练习7已知函数f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|.求h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[0,2]的最大值M(a).

解析：根据上述讨论方法可得

练习8已知a≥3，函数F(x)=max{2|x-1|,x2-2ax+4a-2}.(1)求使得F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围；(2)①求F(x)的最小值m(a)；②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).

解析：(1)略；(2)根据讨论方法可得

绝对值函数自身所具有的代数性质，以及几何图形特征对于解决相应的问题有重要作用.从这两个角度出发捕捉适当的思维着力点，有助于提升问题解决的有效性.