例析均值换元法解数学竞赛最值问题

江苏省南京市第二十九中学致远初级中学 (210029) 蔡俊剑

一、求最大值

例1(2016年全国初中数学联赛初三年级试题)设实数x，y，z满足x+y+z=1,则M=xy+2yz+3xz的最大值为( ).

评注：本题依据已知条件x+y+z=1,M=xy+2yz+3xz,通过均值换元消去变量x，y，构造出一个关于t的一元二次方程，再利用方程有实数根的条件，“判别式大于或等于零”建立不等式求出M的最大值.解题过程巧妙自然，构思精彩，耐人回味.

评注：根据题设巧用均值换元，再结合因式公解十字相乘法，通过解一元二次不等式求得a的取值范围，然后再结合配方技巧求得xy的最大值.方法巧妙，解法新颖，匠心独具，令人赞叹.

二、求最小值

例3(2007年全国初中数学竞赛试题)已知a+b=1，求a2+b2的最小值.

评注：本题运用均值代换，其绝妙之处在于能将多项式最值问题转化为关于变量t的函数的最小值问题，从而只要令t2=0即可求得结果.其解法简捷明晰，别具风味.

图1

例4(2012年“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试试题)如图1，已知边长为1的三个正方形排成一个“品”字，求覆盖“品”字形的最小圆的面积.

评注：本题的等量关系隐藏在图形中，运用均值换元法，用平均数和一个字母表示图中两条线段的长，既形象直观地表示出圆心的位置，又使计算简单明晰，令人耳目一新.

三、求最大值和最小值

例5(2001年全国初中数学竞赛题)已知实数a，b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2.试求t的最大值和最小值.

例6(2004年“信利杯”全国初中数学竞赛题)设实数x，y，z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,试求z的最大值和最小值.

综上可知，均值换元法的应用是极其广泛的，方法通俗易懂，既有利于学生融会贯通“基础知识和基本技能”，又有利于帮助学生提高综合解题水平，对于启迪学生思维、开阔学生视野，培养学生学数学、用数学、研究数学的兴趣均颇有益处.