“动量+能量”守恒类典型问题归类例析

贵州 胡道成

(作者单位：贵州省毕节第三实验高级中学)

从高中物理选修3-5改为高考必考内容以来，“动量+能量”守恒类典型问题逐渐成为新的必考点和热点，其所占分值越来越高。这部分内容能充分体现“物理观念”，与生活实际、自然现象、体育运动、科技前沿联系非常紧密，便于命题专家设置关于“理解能力、推理论证能力、模型建构能力、实验探究能力”的问题情境，以考查学生灵活运用物理知识和思想方法解决实际问题的能力。现针对这类问题的典型题进行归类解析，以便学生解决此类问题时可以“抓住重点，穿线连面”建构良好的知识结构体系。

一、两物体碰撞模型及其推断方法

两个物体在极短的时间内发生相互作用，这种情况称为碰撞。其特点是：①碰撞前后物体的速度在同一条直线上，属于对心碰撞(正碰)；②作用时间极短，两物体碰撞过程的位移可以忽略，内力远大于外力，动量总是守恒的。

遵循碰撞三原则：

【例1】质量相等的A、B两球在光滑水平面上均向右沿同一直线运动，A球的动量为pA=9 kg·m/s，B球的动量为pB=3 kg·m/s，当A球追上B球时发生碰撞，则碰后A、B两球的动量可能是

( )

二、流体作用模型及其“微元法”的应用

对于高压水枪、风力发电机、自动售米机、摩托艇冲浪这类“变质量”和“连续作用”的流体动量变化问题，通常要求计算流体的平均冲击力，需要采用微元法进行处理。考查“模型建构能力”及物理思想方法，涉及动量定理、动能定理、功率等来体现“能量观念”，有时要借助被顶起的物体重力由力的平衡条件建立方程，考查牛顿第三定律，体现“运动与相互作用观念”的考查要求。

【例2】“水上飞人表演”是近年来观赏性较高的水上表演项目之一，其原理是利用脚上喷水装置产生的反冲动力，使表演者在水面上腾空而起，同时能在空中完成各种特技动作，如图1所示为表演者在空中静止时的情形。为简化问题，将表演者及装备与竖直软水管看成分立的两部分。已知表演者及装备的总质量为M，竖直软水管的横截面积为S，水的密度为ρ，重力加速度为g。若水流竖直向上喷出，与装备接触后能与原速度反向弹回，要保持表演者能够在空中静止，软水管的出水速度大小为

图1

( )

【解析】设水从软水管管口喷出时的速度为v，在极短时间Δt内喷出水柱的质量为Δm，则Δm=ρSv·Δt，表演者能静止在空中，根据力的平衡条件可知，水对表演者及其装备的作用力大小为Mg，根据牛顿第三定律，表演者及其装备对水柱的作用力大小等于Mg，选竖直向下为正方向，以水柱为研究对象，根据动量定理：

三、人船模型特点及其解题思路

图2

【例3】如图3所示，质量为m3=2 kg的滑道静止在光滑的水平面上，滑道的AB部分是半径为R=0.3 m的四分之一圆弧，圆弧底部与滑道水平部分相切，滑道水平部分右端固定一个轻弹簧，滑道除CD部分粗糙外其他部分均光滑。质量为m2=3 kg的物体2(可视为质点)放在滑道的B点，现让质量为m1=1 kg的物体1(可视为质点)自A点由静止释放。两物体在滑道上的C点相碰后黏为一体(g=10 m/s2)。求：

图3

(1)物体1从释放到与物体2相碰的过程中，滑道向左运动的距离；

(2)若CD=0.2 m，两物体与滑道的CD部分的动摩擦因数都为μ=0.15，求在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能；

(3)物体1、2最终停在何处。

联立以上方程，代入数据可以求得Epm=0.3 J。

代入数据得s=0.25 m，所以m1、m2最终停在D点左端离D点距离为0.05 m处。

【点评】人船模型是以人和船组成的系统为研究对象，基本的解题思路是通过画草图来找出二者对地位移的几何关系，然后利用动量守恒定律进行求解。这种模型不仅适用于人在船上行走的情境，还可以进一步拓展到其他的类似情境，比如人沿着悬浮在空中热气球的绳梯滑下或爬上的问题(竖直方向动量守恒)；小物体沿着放在光滑水平面上的斜面或弧形槽下滑的情境等，要善于抓住某个方向上动量守恒这个本质因素，识别出其他真实情境中变异了的“人船模型”，然后对知识与方法进行迁移运用。

四、子弹打木块模型特点及解题思路

图4

( )

【点评】子弹射入木块的过程，子弹和木块的动量守恒；若子弹射入木块后与木块一起推动木板，需要根据牛顿第二定律和运动学公式列方程求解。对于子弹进入木块后成为一个整体做匀变速直线运动的情况，往往需要用机械能守恒定律、动能定理或能量守恒定律参与列式求解，这时需要对运动过程进行分解，根据受力情况求出研究对象的加速度，寻找速度关系和位移关系成为解题的关键步骤。

五、涉及爆炸的能量综合问题及其解题思路

爆炸发生在极短的时间内，炸药产生的作用力(内力)远大于物体系统所受的外力，因此在爆炸过程中系统的动量守恒；在爆炸过程中有其他形式的能(通常是化学能)转化为相互作用物体的动能，因此会导致系统动能增加，所以要根据能量守恒定律列方程。

【例5】如图5所示，水平地面上固定着竖直面内半径R=2.75 m的光滑圆弧槽，圆弧对应的圆心角为37°，槽的右端与质量m=1 kg、长度L=2 m且上表面水平的木板相切，槽与木板的交接处静止着质量m1=2 kg和m2=1 kg的两个小物块(可视为质点)。现点燃物块间的炸药，炸药爆炸释放的化学能有60%转化为动能，使两物块都获得水平速度，此后m2沿圆弧槽运动，离开槽后在空中能达到的最大高度为h=0.45 m。已知m1与木板间的动摩擦因数μ1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10 m/s2。求：

图5

(1)物块到达圆弧槽左端时的速率v；

(2)炸药爆炸释放的化学能E；

(3)木板从开始运动到停下的过程中与地面间因摩擦而产生的热量Q。

联立解得E=45 J

【点评】解答爆炸问题，通常都会用动量守恒定律和能量守恒定律列方程，但爆炸问题通常会与板块弹簧等问题整合在一起，一旦出现物块带动木板运动的情形，就需要根据牛顿第二定律求出各物体的加速度，再通过寻找各个物体的速度关系和位移关系来进行列式求解。几个物体达到共同速度是一个临界条件，共速后如果地面不光滑，还会发生相对滑动。解决这类涉及多个物体、多个过程的问题关键在于准确分解各个运动过程，通过寻找中间桥梁来正确列式。值得注意的是两个对地运动的物体之间因摩擦而产生的热量Q=Ff·s中的s指的是物体之间的相对位移，而计算物体与地面摩擦产生的热量时又必须使用对地位移。

六、有弹簧参与的碰撞问题及其解题思路

由于弹簧弹力是变力且不能突变，所以有弹簧参与的碰撞过程，要注意区别哪个过程弹簧真正参与了相互作用，在弹簧的弹性势能增加或减少的过程中通常都要用能量守恒定律进行列式，当弹簧具有最大弹性势能时，一定是弹簧被压缩到最短或被拉伸到最长的时候，此时弹簧两端的物体具有相同大小的速度，这是一个隐含条件；但弹簧恢复原长时，弹簧两端物体的速度通常并不相等，而且速度不一定反向(要根据系统的初动量来判定)。

【例6】如图6甲所示，物块A、B的质量分别是mA=4.0 kg和mB=3.0 kg。用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙壁相接触。另有一物块C从t=0时以一定速度向右运动，在t=4 s时与物块A相碰，并立即与物块A粘在一起不再分开，物块C的v-t图像如图6乙所示。求：

甲

(1)物块C的质量mC；

(2)t=8 s时弹簧具有的弹性势能Ep1，4～12 s内墙壁对物块B的冲量大小I；

(3)B离开墙后的运动过程中弹簧具有的最大弹性势能Ep2。

【解析】(1)由题图乙知，C与A碰前速度为v1=9 m/s，碰后速度大小为v2=3 m/s，C与A碰撞过程动量守恒mCv1=(mA+mC)v2，解得mC=2 kg。

(3)由题图可知，12 s时刻B离开墙壁，此时A、C的速度大小v3=3 m/s，之后A、B、C及弹簧组成的系统由动量守恒定律得(mA+mC)v3=(mA+mB+mC)v4

【点评】弹簧可以把物块、挡板、小车等联系起来构建出比较复杂的相互作用系统，体现对物理观念中“运动与相互作用观念”和“能量观念”这一核心素养的考查。解决这类问题要在挖掘隐含条件的基础上，熟练运用动量定理、动量守恒定律、动能定律、能量守恒定律等主干知识进行列式求解，尤其要注意弹簧恢复原长时，其两端物体的速度不相等的情况，要根据系统的初动量对求出的速度进行取舍。对于题目用图像给出解题所需信息的问题，要从图像中准确获取与情境对应的物理量。

七、电磁感应中的双棒问题

电磁感应中的双棒问题一般用力与运动、动量与能量观点来分析解决，通常以牛顿运动定律处理导体棒的瞬间力与运动的关系，以力与运动和动量及能量处理过程量与状态量的关系。但要注意利用动量守恒定律分析时，双棒组成的系统所受合外力必须为零；若系统所受合外力不为零，则需要对单导体棒进行受力分析，建立安培力的冲量与动量改变量之间的关系，之后用动能定律来处理。

【例7】如图7所示，足够长的水平轨道c1c2左侧b1b2-c1c2部分轨道间距为2L，c1c2右侧窄轨道间距为L，曲线轨道绝缘且与水平轨道相切于b1b2，所有轨道均光滑且电阻不计。在水平轨道内有斜向下与竖直方向成θ=37°的匀强磁场，磁感应强度大小B0=0.1 T。质量为M=0.2 kg的金属板C垂直于导轨静止在c1c2右侧窄轨道上，质量m=0.1 kg的金属棒A自曲线轨道上高为h处由静止释放，经时间t，两棒达到稳定状态。两棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，金属棒A总在c1c2左侧宽轨道上运动，金属棒C总在c1c2右侧窄轨道上运动。已知两棒接入电路的有效电阻均为R=0.2 Ω，h=0.2 m，L=0.2 m，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10 m/s2。求：

图7

(1)金属棒A滑到b1b2处时的速度大小；

(2)金属棒C匀速运动的速度大小；

(3)在整个运动过程中两棒在水平导轨间扫过的面积之差。

八、与板块有关的多体多过程动量、能量问题

在由板块组成的系统内，除了动量守恒之外，大多数情况下会有机械能的损失。对于多过程问题，在应用动量守恒定律解题时，需要灵活选择研究的系统，若木板在光滑水平面上滑动，则系统损失的机械能应等于两相互作用物体之间的滑动摩擦力与两者相对位移的乘积；对于地面不光滑的问题，则需要用牛顿第二定律和运动学公式参与列式才能解决。

【例8】如图8所示，在光滑水平面上有一平板小车，质量为m1，其左端放有质量为m2的铁块(可视为质点)，若铁块随小车以v0=3 m/s的速度向右做匀速运动，小车将与竖直墙壁发生正碰，碰撞时间忽略不计。碰撞时无动能损失，已知铁块与平板之间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10 m/s2。铁块始终不会从小车上掉下来。

图8

(1)若m1=2 kg，m2=1 kg。①求小车的最小长度；②求小车与墙壁碰后，站在地面上的人看来，铁块向右运动的最大位移；

(2)若m1=1 kg，m2=2 kg，从小车与墙壁第一次碰撞开始算起，到小车与墙壁第三次碰撞瞬间为止的这段时间内，小车所走的总路程。

【点评】板块模型以匀变速直线运动为基本情境，研究对象具有多体性，已知条件具有隐蔽性，运动过程具有多段性或往返性，物理过程复杂，分段处理是基本思路，要将物体的受力分析与过程分析结合起来，在草稿纸上画出过程示意图，做好受力分析，理清运动过程，灵活地将动力学、运动学、动量、能量关系等多个规律有机结合起来进行处理。