用整体法和隔离法玩转静止斜劈受到的支持力和静摩擦力

2020-11-16湖南王经天

教学考试(高考物理) 2020年4期

湖南王经天

物块在静止斜劈上运动或静止时，如何求水平地面对斜劈的支持力和静摩擦力是学生学习中的难点。本文通过整体法和隔离法求物块在静止斜劈上，在不同方向的力作用下、不同的运动形式下，探究斜劈受到水平地面的支持力和静摩擦力的情况，培养学生的科学思维能力、科学探究能力，使学生学会处理此类问题的思想方法——整体法和隔离法。

一、构建情景，提出研究问题

粗糙水平面上斜劈始终静止不动，在物块上不施加外力或施加外力F的情况下，物块在斜劈上静止或运动时，求地面对斜劈的支持力FN和静摩擦力Ff。

二、构建模型，培养科学思维能力

模型构建一滑块加速度a=0

1.物块在斜劈上匀速下滑

【例1】如图1所示，质量为M，倾角为θ的斜劈静止在水平地面上，质量为m的物块在斜劈上匀速下滑，求水平地面对斜劈的支持力FN和静摩擦力Ff。

图1

【分析】由于物块在斜劈上匀速下滑，对物块和斜劈整体根据力的平衡可得，水平地面对斜劈的支持力为FN=(M+m)g，方向竖直向上；水平地面对斜劈的静摩擦力Ff=0。

【延伸1】在例1中若物块在斜劈上静止，求水平地面对斜劈的支持力FN和静摩擦力Ff。

【分析】无论物块在斜劈上是静止还是匀速下滑，物块的加速度a均为0，因此处理方法和结论与例1完全相同。

2.在物块上添加另一物块后，两物块在静止斜劈上一起匀速下滑

【例2】如图2所示，质量为mB的物块B，在质量为M倾角为θ的斜劈上匀速下滑，在物块B上添加物块A后，物块A、B一起沿斜面匀速下滑，求水平地面对斜劈的支持力FN和静摩擦力Ff。

图2

【分析】由于A、B物块在斜劈上匀速下滑，对整体根据力的平衡可得，水平地面对斜劈的支持力为FN=(M+mA+mB)g，方向竖直向上；水平地面对斜劈的静摩擦力为Ff=0。

【延伸2】在例2中，若B物块静止在斜劈上，在B物块上添加物块A后，A、B一起静止在斜劈上，求水平地面对斜劈的支持力FN和静摩擦力Ff。

【分析】处理方法和结论与例2相同。

3.在物块上施加力F，物块在斜劈上匀速下滑

【例3】如图3所示，质量为M，倾角为θ的斜劈，始终静止在粗糙的水平地面上，有一质量为m的物块在斜劈上恰好匀速下滑，现给物块施加一个竖直向下的恒力F。求：

(1)物块和斜劈间的动摩擦因数μ；

(2)斜劈受到的水平地面的支持力FN和静摩擦力Ff。

图3

【分析】由于物块在斜劈上恰好匀速下滑，所以μ=tanθ，当给物块施加竖直向下的力F后，用隔离法对物块受力分析可知，物块沿斜面向下受力为(mg+F)sinθ，此时所受滑动摩擦力为μ(mg+F)cosθ，而μ=tanθ，故可知此时物块依然在斜劈上做匀速直线运动，对整体根据力的平衡可得，地面对斜劈的支持力为FN=(M+m)g+F，方向竖直向上；地面对斜劈的静摩擦力为Ff=0。

【延伸3】在例3中，若物块静止在斜劈上，给物块施加一个竖直向下的力F，求水平地面对斜劈的支持力FN和静摩擦力Ff。

【分析】由于物块静止在斜劈上，所以μ≥tanθ，当给物块施加竖直向下的力F后，物块依然静止在斜劈上，对整体根据力的平衡可得，地面对斜劈的支持力为FN=(M+m)g+F，方向竖直向上；地面对斜劈的静摩擦力为Ff=0。

模型构建二滑块加速度a≠0

1.物块在静止斜劈上的加速“自由滑”(物块不受外界推力或拉力)

【例4】如图4所示，质量为M，倾角为θ的斜劈静止在水平地面上，质量为m的物块沿斜面匀加速下滑，物块和斜面间的动摩擦因数为μ，求水平地面对斜劈的支持力FN和静摩擦力Ff。

图4

【分析】先采用隔离法对物块受力分析及分解重力如图5所示

图5

根据牛顿第二定律得mgsinθ-μmgcosθ=ma①

a=g(sinθ-μcosθ) ②方向沿斜面向下

把物块加速度沿水平方向和竖直方向分解如图6所示

图6

对物块和斜劈整体根据牛顿第二定律得

(M+m)g-FN=masinθ

FN=(M+m)g-masinθ③

Ff=macosθ④

由②③式联立解得FN=(M+m)g-mg(sinθ-μcosθ)sinθ，方向竖直向上

由②④式联立解得Ff=mg(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左

2.物块上添加另一物块后，两物块在静止斜劈上一起加速“自由滑”

【例5】如图7所示，质量为M，倾角为θ的斜劈静止在水平地面上，质量为mB的物块沿斜面匀加速下滑，物块B和斜面间的动摩擦因数为μ，B物块匀加速下滑过程中，在B物块上添加质量为mA的物块A后，A、B一起沿斜面匀加速下滑，求水平地面对斜劈的支持力FN和摩擦力Ff。

图7

【分析】把A、B看成一个整体可得，A、B整体的加速度a=g(sinθ-μcosθ)，方向沿斜面向下，分解加速度得

ax=acosθ，ay=asinθ

把斜劈及两物块看成一个整体，根据牛顿第二定律得

FN=(M+mA+mB)g-(mA+mB)g(sinθ-μcosθ)sinθ，方向竖直向上

Ff=(mA+mB)g(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左

3.物块在静止斜劈上在推力或拉力作用下的加速“被动滑”

【例6】质量为M，倾角为θ的斜劈静止在水平地面上，质量为m的物块沿斜面匀加速下滑，物块和斜面间的动摩擦因数为μ，在物块匀加速下滑过程中，给物块施加一个竖直向下的恒力F，如图8所示。求水平地面对斜劈的支持力FN和静摩擦力Ff。

图8

【分析】隔离物块m受力分析并根据牛顿第二定律得，

对物块加速度a正交分解为ax和ay

对物块和斜劈整体根据牛顿第二定律得

(M+m)g+F-FN=may

水平地面对斜劈的支持力大小为

FN=Mg+(F+mg)cosθ(cosθ+μsinθ)，方向竖直向上

水平地面对斜劈的摩擦力大小为

Ff=(F+mg)(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左

【延伸4】在例6中若对m所加推力平行斜面向下，求地面对斜劈的支持力FN和地面对斜劈的静摩擦力Ff时最好对物块和斜劈分别隔离分析，如图9所示，由于推力F和斜面平行，所以，在物块上施加平行斜面推力F后，斜劈的受力不变，因此在物块上施加平行斜面推力F后，地面对斜劈的支持力不变，支持力大小为FN=(M+m)g-mg(sinθ-μcosθ)sinθ，静摩擦力Ff也保持不变，静摩擦力Ff=mg(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左。

图9

三、自主实践，培养科学探究能力

一斜劈A静止在粗糙的水平面上，在其斜面上放着一滑块B，若给滑块B一平行斜面向下的初速度v0，如图10所示，在B下滑过程中再施加一个作用力。

图10

1.若AB间的μ

(1)在B上未施加力F，则B在A上沿斜面下滑时，求水平地面对斜劈的静摩擦力。

【分析】过程见例4地面对斜劈的静摩擦力Ff=mg(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左。

(2)若在B上施加一竖直向下的力F1，求水平地面对斜劈的静摩擦力。

【分析】过程见例6地面对斜劈的静摩擦力Ff=(F+mg)(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左。

(3)若在B上加一平行斜面向下的力F2，求水平地面对斜劈静摩擦力。

【分析】过程见延伸4地面对斜劈的静摩擦力Ff=mg(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左。

(4)若在B上施加一水平向右的力F3，若物块在斜劈上做匀减速直线运动，在物块停止运动前，水平地面对斜劈的静摩擦力方向是否发生改变？

【分析】在未施加F3之前，水平地面对斜劈的静摩擦力方向水平向左；在B上施加一水平向右的力F3后，物块对斜劈的压力增加了ΔF=F3sinθ，压力水平向右的分量增加了ΔFx=F3sinθsinθ，物块对斜劈的摩擦力增加了ΔFf=μF3sinθ，摩擦力的水平向左分量增加了ΔFfx=μF3sinθcosθ，由于μ

(5)若在B上施加一水平向右的力F3，若物块在斜劈上做匀加速直线运动，水平地面对斜劈的静摩擦力方向是否发生改变？

【分析】在B上施加一水平向右的力F3后，分析方法同(4)，地面对斜劈的摩擦力方向不变，方向水平向左。

(6)在B上施加任意方向的力F，在斜劈上B停止运动前，地面对斜劈的静摩擦力方向是否发生改变？

【分析】分析方法同(4)(5)，在B停止运动前，地面对斜劈的静摩擦力方向不发生改变。

2.若AB间的μ=tanθ

(1)若在B上施加一竖直向下的力F1，则B将做什么运动？地面对斜劈有无静摩擦力？

(2)若在B上施加一平行斜面向下的力F2，则B将做什么运动？地面对斜劈有无静摩擦力？

(3)若在B上施加一水平向右的力F3，则B将做什么运动？地面对斜劈有无静摩擦力？

(4)若在B上无论施加什么方向的力，则在斜劈上B停止运动前，地面对A有无静摩擦力的作用？

【分析】分析方法与(3)相同，在B停止运动前，地面对斜劈没有静摩擦力的作用。

3.若AB间的μ>tanθ

(1)未在B上施加力F，若物块以初速度v0沿斜面下滑，物块B在斜劈上做什么运动？地面对斜劈的静摩擦力方向如何？

【分析】物块B在斜面上做匀减速直线运动，对物块分析可得物块的加速度a=g(sinθ-μcosθ)，其水平分量ax=g(sinθ-μcosθ)cosθ，对物块和斜劈整体分析可得地面对斜劈的静摩擦力Ff=max=mg(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向右。

(2)若在B上施加一竖直向下的力F1，地面对斜劈静摩擦力方向如何？

【分析】若在B上施加一竖直向下的力F1，对物块和斜劈整体分析可得施加竖直向下的力F1后，并不影响整体的水平方向受力，所以地面对斜劈的静摩擦力水平向右。

(3)若在B上施加一平行斜面向下的力F2，地面对斜劈静摩擦力方向如何？

【分析】若在B上施加一平行斜面向下的力F2，并不影响斜劈的受力，所以地面对斜劈的静摩擦力还是水平向右。

(4)在B上施加一水平向右的力F3后，在物块停止运动前，地面对斜劈的静摩擦力方向是否发生改变？

【分析】在B上施加一水平向右的力F3后，物块对斜劈的压力增加了ΔF=F3sinθ，其水平向右的分量增加了ΔFx=F3sinθsinθ，物块对斜劈的摩擦力增加了ΔFf=μF3sinθ，摩擦力的水平向左分量增加了ΔFfx=μF3sinθcosθ，由于μ>tanθ，所以μF3sinθcosθ>F3sinθsinθ，即ΔFfx>ΔFx，所以地面对斜劈的静摩擦力方向不变，方向还是水平向右。

(5)在B上施加任意方向的力F，在B停止运动前，地面对斜劈的静摩擦力方向如何？

【分析】分析方法和(4)相同，在B上施加任意方向的力F，在B停止运动前，地面对斜劈的静摩擦力方向不变，方向都是水平向右。