函数对称性及其应用举例

安徽 陈晓明

函数是中学数学教学的主线，也是高考重点考查的内容.函数的性质很多，其中函数的对称性问题是一个难点，此类试题经常出现在平时的考试中，甚至在高考舞台也占有一席之地.函数的对称性分为一个函数的自对称性和两个函数的对称性，对称性包括轴对称和中心对称.限于篇幅，这里只给出部分定理的证明，其余定理的证明读者不难完成.

1 一个函数的自对称性

(1)轴对称

说明(1)特别地，当a=b时，函数y=f(x)的定义域为R，且满足条件f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.当a=b=0时，函数y=f(x)的定义域为R，且满足条件f(x)=f(-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称，此时函数y=f(x)为偶函数.

(2)定理的逆命题也成立，即函数y=f(x)的定义域为R，它的图象关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x).

(3)f(a+x)=f(a-x)⟺f(x)=f(2a-x).

(4)有对称性(对称轴x=a，对称中心(a,b))的一个或两个函数的定义域只需关于x=a对称即可，不一定就是R.下面情况相同.

(2)中心对称

说明(1)特别地，当a=b时，函数y=f(x)的定义域为R，且满足条件f(a+x)=-f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.当a=b=0时，函数y=f(x)的定义域为R，且满足条件f(x)=-f(-x)，则函数y=f(x)的图象关于点(0,0)(即原点)对称，此时函数y=f(x)为奇函数.

(2)定理的逆命题也成立，即函数y=f(x)的定义域为R，它的图象关于点(a,0)对称，则f(a+x)=-f(a-x).

(3)f(a+x)=-f(a-x)⟺f(x)=-f(2a-x).

(4)可推广：设函数y=f(x)的定义域为R，且满足条件f(x)+f(2a-x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.逆命题也成立.

2 两个函数的对称性

(1)轴对称

定理3设函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.

说明(1)特别地，当a=0时，设函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.

(2)同理可得：设函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x)与函数y=2b-f(x)的图象关于直线y=b对称.

(2)中心对称

定理4设函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x)与函数y=-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称.

说明(1)特别地，当a=0时，设函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于点(0,0)(即原点)对称.

(3)定理4可推广为：设函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x)与函数y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.逆命题也成立.

3 应用举例

例1(2018·全国卷Ⅱ理·11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

( )

A.-50 B.0

C.2 D.50

解析因为函数f(x)是在(-∞,+∞)上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，且f(0)=0.因为f(1-x)=f(1+x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，由定理1说明(3)知f(x)=f(2-x)，故f(-x)=f(2+x)，所以f(2+x)=-f(x)，故f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是周期函数，且一个周期为4，故f(4)=f(0)=0，f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0，f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f(1)=-2，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2，故本题正确答案是C.

评注由解析不难推广得到：若函数f(x)的图象有一个对称中心(a,0)，一条对称轴为直线x=b，且a≠b，则4|b-a|是函数f(x)的周期.

例3设函数y=f(x)定义在实数集R上，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于

( )

A.直线y=0对称 B.直线x=0对称

C.直线y=1对称 D.直线x=1对称

( )

A.1 B.2

C.3 D.4

结束语

高考复习备考中，笔者认为做题、讲题不在多，应当多花点儿精力研究知识点中隐藏的规律性的东西，注重对题型的归纳和总结，在看到个性的同时找到共性.把一类题型做熟练、分析透彻，才能触类旁通，从而培养学生的能力，提高解题效率，提升学生数学核心素养.高考数学复习归根结底还是要落实数学核心素养的提升.