“新高考”新题型例说
2020-11-15湖南欧阳才学
湖南 欧阳才学
2020年北京、天津、山东和海南的数学高考使用新高考全国卷，“新高考”全国卷将更加注重对“创新意识”的考查.通过创新问题，考查考生对新颖信息、情景设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地运用所学的数学知识、思想和方法，进行独立地思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题的能力.下面例析几道立意新颖、表述脱俗、背景鲜活和设问独特的新题型，供参考.
一、多项选择题
突出一个主题，设计多个正确选项供考生选择，这是多项选择题主要的呈现方式.教育部考试中心任子朝说：“多选题的引入有利于提高全卷得分率，有利于区分学生，但选项数量设置有必要进行改进.这一题型一般是每题设置4个选项，全部选对满分，选对但不全的得一半分，有选错的得0分.”
( )
A.-3 B.-2
例2.(原创)下面的结论中，正确的是
( )
A.若a，b∈R，则a2+3>2a
B.若a，b∈R，则a2+b2>2(a-b-1)
C.若a，b，c，d∈R，且满足(a2+b2)d2+b2+c2≤2b(a+c)d，则b2=ac
解析：因为a2+3-2a=(a-1)2+2>0，所以A正确；
因为a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b-1)2≥0，所以B错误；
将(a2+b2)d2+b2+c2≤2b(a+c)d变形并整理，得(ad-b)2+(bd-c)2≤0，因此ad-b=bd-c=0，所以b2=ac，所以C正确；
故选ACD.
点评：本题以等式和不等式性质的应用为着手点，综合考查两个实数的大小比较、非负数的性质和基本不等式的应用等知识，以及作差法、配方法、不等化等、“1”的代换等方法技巧，是一道命题(结论)判断的试题.
二、阅读理解题
阅读理解题通过给出一个新概念，或定义一种新运算，或给出新的问题情境，要求在读懂题目的基础上，将新旧知识相联系，剖开现象看本质，实现新信息向已学的知识和方法迁移，达到创新解题的目的.这类问题既能考查学生的阅读理解能力和数学语言转换能力，又能考查学生的探究能力.
例3.已知a,b∈Z,m∈N*，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)．若函数f(x)=2x3-2x2-5x在点x=2处的切线的斜率为a，且a≡b(mod 10)，则b的值可以是
( )
A.2 015 B.2 017
C.2 019 D.2 021
解析：因为函数f(x)=2x3-2x2-5x，所以f′(x)=6x2-4x-5，所以f′(2)=6×22-4×2-5=11，所以a被10除所得的余数为1.因为a≡b(mod 10)，所以b被10除所得的余数为1．当b=2 021时，b被10除所得的余数为1,故选D.
点评：本题给出“a和b对模m同余”新概念和对应的“新符号”，关键是对新符号“a≡b(mod 10)”的认识和理解.在此基础上利用导数的几何意义求出a的值，再结合选项确定符合新概念的b的值.
例4.数列{an}中，对任意给定的正整数n，存在不相等的正整数i,j(i (Ⅰ)若仅有3项的数列1,a,b具有性质P，求a+b的值； (Ⅲ)正项数列{bn}是公比不为1的等比数列.若数列{bn}具有性质P，则数列{bn}至少有多少项？请说明理由. ∴a+b=2或a+b=-2. (Ⅲ)设正项等比数列{bn}的公比为q，q>0且q≠1，则bn=b1·qn-1. ∵j>i≥1，且i,j∈N*，∴i+j-2≥1. 这时对于n=1,2,…,7，都存在bn=bibj，其中i ∴数列{bn}至少有7项. 点评：本题以数列知识为载体，以阅读理解能力与推理论证能力为立意，以探索求解为目的，需要考生在理解数列{an}具有“性质P”含义的基础上，将其转化运用到具体的求值、证明及探索等问题情境中，经过运算求解或推理论证，从而解决问题.本题所传递的导向信息很明确，那就是不以“刷题”为备考方式，不以解决高精尖的难题为唯一追求，把复习备考的着眼点放在数学的“问题本质”和能力培养上，将本质性的东西弄熟吃透了，阅读理解、抽象概括及推理论证能力提高了，相应的问题便会迎刃而解. 在知识网络的交叉点处设计试题，是基础性与综合性的最佳表现形式.“新高考”命题注定不囿于单一的知识点，而是从学科知识的内在联系出发，在知识交叉上做文章，注重知识之间的交汇、渗透和整合.一个题目往往包含多个知识点，解题时不能只局限于一个知识点，必须将相关知识纳入一个系统中去考虑，灵活地从一个知识点转到另一个知识点. 例5.如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，点C满足sin∠CAB=λsin∠CBA(λ>0)，且在平面α内运动，则 ( ) A.当λ=1时，点C的轨迹是抛物线 B.当λ=1时，点C的轨迹是一条直线 C.当λ=2时，点C的轨迹是椭圆 D.当λ=2时，点C的轨迹是双曲线 当λ=1时，BC=AC，过AB的中点作线段AB的垂面β，则点C在平面α与平面β的交线上，即点C的轨迹是一条直线，所以A错误； 点评：以立体图形为载体，以空间想象能力为立意，设置满足一定条件的动点，着力将动点运动的轨迹设计为直线、圆、圆锥曲线或圆锥曲线的一部分，这是设计立体几何与解析几何交融的创新型试题的常用渠道，对促进思维能力和对核心概念的理解大有裨益，能很好地考查直观想象核心素养和知识的综合运用能力.本题将角的正弦关系转化为棱长的比值后，根据选项中λ的取值分别分析、判断和进一步求解. 整理，得tan2an+1-tan2an=1, 所以数列{tan2an}是以3为首项，1为公差的等差数列, 点评：三角函数、数列与导数是高中课程中极其重要的内容，它们“联姻”设计出的交汇性试题，既能体现数列的基础性，又能体现三角函数与导数的工具作用.本题中的数列和导数都是“幌子”，重在考查三角恒等变换的运用能力. 给出实际应用背景，对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，得出结论，从而解决问题. 例7.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃～25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y(单位：个)随温度x(单位：℃)的变化规律，收集数据如下： 温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194 对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示： xyk∑7i=1(xi-x)2∑7i=1(ki-k)2∑7i=1(xi-x)(yi-y)∑7i=1(xi-x)(ki-k)18663.81124.31 42820.5 (Ⅰ)请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=cedx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)； (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程(结果精确到0.1)； (Ⅲ)当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？ 参考数据：e5.5≈245. 解析：(Ⅰ)由题意，y关于x的散点图如图所示， 所以y=cedx更适合作为y关于x的回归方程. 所以y关于x的回归方程为y=e0.2x+0.5. (Ⅲ)由(Ⅱ)中的回归方程可知，令x=25，求得y=e5.5≈245， 所以当温度为25℃时，预报值为245. 点评：本题主要考查数据的散点图的应用，回归方程的求解及应用，合理利用散点图作出判断，准确利用公式求解是解答的关键，着重考查数据处理能力与运算求解能力.本题充分体现了“将数据准备阶段的步骤减少，给考生呈现比较规范的数据格式或数据的回归模型.”把考查的重点后移到对数据的分析、理解、找规律，减少复杂的运算，突出对数学思想方法的理解和运用能力的考查，引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培养. 给出一些数据、图形、表格等多种形式的背景材料，通过提供设计条件或结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题，增强试题的开放性和探究性，引导学生打破常规进行思考，通过尝试类比或猜测作出独立的判断，创造性地提出解决方案. 阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子. 解析：图象特征： 点评：在研究这样的问题中，我们既用到了从特殊到一般的思想，又用到了分类讨论的思想，既进行了静态(特殊点)的研究，又进行了动态(趋势性)的思考.让我们享受数学研究的过程，传播数学研究的成果.
三、知识交叉题
四、数据分析题
五、材料背景题
