多法并举，破解二面角问题

福建 黄清波

高考中对二面角的要求是：掌握二面角及其平面角，掌握平面和平面所成的角.2019年全国各省市8份理科卷中有6份卷考查二面角相关知识，二面角求解的问题几乎是高考解答题中的必考题，是高考备考的一个重点也是难点，考查考生逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养，对考生知识以及思维能力要求较高.本文以2019年高考数学全国卷Ⅰ理科第18题第(Ⅱ)问为例，从多个视角去考量二面角的求解策略，希望读者从中受到启发，选择适合自己的方法.

题目：如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2,∠BAD=60°，E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.

(Ⅰ)证明：MN∥平面C1DE；

(Ⅱ)求二面角A-MA1-N的正弦值.

分析：本题主要考查直线与直线、直线与平面和平面与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力；考查数形结合思想和化归与转化思想；考查逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养.本题难度适中.

策略一：几何法

【分析】利用三垂线定理作出二面角的平面角，转化为解三角形.

解法1:(Ⅰ)略.(Ⅱ)如图，取AB的中点F,连接DF.

因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，得DF⊥AB.

又因为A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥DF,得到DF⊥平面A1ABB1,延长直线AB与直线A1M相交于点G，过点F作A1M的垂线，垂足为H,连接DH.

所以DF⊥A1H,FH⊥A1H,得到A1H⊥平面DFH,得A1H⊥DH,所以∠DHF是二面角A-MA1-N的平面角.

【归纳】此法是以逻辑推理作为工具解决问题，解题过程中经常要引入辅助线和回忆大量的几何定理公理，对学生的空间想象能力和逻辑推理能力要求较高，在教学过程中，应引导学生优先考虑用几何法解题，会动手操作、尝试着去处理图形，即对图形进行分割、补全、折叠、展开或添加辅助线等，借此不断提高自己的空间想象能力.另一方面，让学生熟练掌握初中和高中几何定理公理的运用.

(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；

(Ⅱ)求二面角F-AE-P的余弦值；

解：(Ⅰ)证明略.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，CD⊥AE,在△PAD中，PA=AD，E为PD的中点，所以PD⊥AE.

所以AE⊥平面PCD，所以FE⊥AE.

即∠FEP为二面角F-AE-P的平面角.

(Ⅲ)AG在平面AEF内，理由略.

策略二：坐标法

【分析】利用坐标法，建立空间直角坐标系求解.

解法2：由已知可得DE⊥DA.

设n1=(x1,y1,z1)为平面A1MA的法向量，

设n2=(x2,y2,z2)为平面A1MN的法向量,

取x2=2，得n2=(2,0,-1).

【归纳】坐标法主要是利用向量的相关知识及其运算来解决问题，即用代数的方法解决几何问题，将数与形完美地结合起来，降低了立体几何的思维难度，解题有一定的规律性，便于学生掌握.其步骤：①建系；②找点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证和计算；⑤下结论.不规则坐标系的建立较为灵活，但还是有“法”可依，平时教学过程中，应加强建立不规则坐标系的训练，帮助学生消除一定的心理障碍.另外，建立不规则坐标系后，通常会增加某些点坐标表示的难度，除了作“射影”来求，大多是通过“算”来表示.同时，还应加强表示动点坐标的训练，如引进参数来表示.当然运用此法，如果不能明确法向量的指向，学生有时很难直观判断两个法向量所成的角是二面角还是二面角的补角，比如2019年高考数学全国卷Ⅱ理科第17题.可参考法向量方向的判断方法：

已知二面角α-l-β的大小为θ，向量n1,n2分别为半平面α,β的法向量，若法向量n1,n2都指向二面角的内部(或外部)，则θ=π-;若法向量n1,n2一个指向二面角的内部，另一个外部，则θ=.

【变式】(2019·全国卷Ⅱ理·17)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(Ⅰ)证明：BE⊥平面EB1C1；

(Ⅱ)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.

解：(Ⅰ)证明略.(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠BEB1=90°,

由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,

故AE=AB，AA1=2AB.

则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),

设n1=(x1,y1,z1)为平面EBC的法向量,

取y1=1，得n1=(0,1,1)，

设n2=(x2,y2,z2)为平面ECC1的法向量,

取x2=1，得n2=(1,1,0)，

策略三：基底法

解法3：由已知可得AM⊥A1M.

在△A1DM中，过点N作NG⊥A1M，垂足G，如图

设二面角A-MA1-N的大小为θ.

【归纳】基底法是指非坐标向量法，关键在于找对基底，必须具备：①三个向量不共面；②三个向量的模已知；③三个向量两两夹角已知.其法较之坐标法，有不需要建系、运算简捷、可操作性强且更能体现向量的魅力等优点.但就学生而言，由于向量运算毕竟属于一种新的运算体系，形式化要求高，总感觉运用时不习惯、不顺手.在教学过程中，应帮助学生突破过高形式化带来的困难，从而让学生充分感受向量法的优美和力量.

【变式】(2016·全国卷Ⅰ理·18)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

(Ⅰ)证明:平面ABEF⊥平面EFDC；

(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.

解：(Ⅰ)证明略.(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠DFE=∠CEF=60°，

因为AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，

所以AB∥平面EFDC，又AB⊂平面ABCD.

又平面ABCD∩平面EFDC=CD,

所以AB∥CD，所以CD∥EF.

所以四边形EFDC为等腰梯形.

设AB=2,在Rt△BCE中，过点E作EM⊥BC，垂足为M，

在△ABC中，过点A作AN⊥BC，垂足为N，

设二面角E-BC-A的大小为θ.

策略四：面积法

解法4：如图，取AB的中点F,连接DF.

因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，得DF⊥AB.

又A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥DF,得DF⊥平面A1ABB1,

则△A1MD在平面A1ABB1的射影为△A1MF.

设二面角A-MA1-N的大小为θ,

【归纳】射影面积公式法适用于斜面和射影面的面积易求的立体几何题中，可省去作、证二面角的平面角的过程.

【变式】正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是1，M是棱CC1的中点，求截面A1BM与底面ABC所成锐角二面角的大小.

解：由正三棱柱的条件，可知△ABC是△A1BM在底面内的射影.

策略五：四角公式法(适合小题)

【分析】利用四角公式法，如图，设二面角P-AE-F的平面角为θ，

∠PAE=θ1(线棱角)，∠FAE=θ2(线棱角)，∠PAF=θ3(线线角)，

解法5：如图，设二面角A-MA1-N的大小为θ,

∠AA1M=θ1，∠DA1M=θ2，∠AA1D=θ3，

【归纳】利用四角公式求二面角：关键是确定棱上某点作为三个角θ1,θ2,θ3的顶点，找出两个线棱角及一个线线角.最后归结为解三角形，简化了找二面角的麻烦，适合求一般二面角.

(Ⅰ)证明：DC1⊥BC;

(Ⅱ)证明：求二面角A1-BD-C1的大小.

解：(Ⅰ)证明略.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知DC1⊥BC，又CC1⊥BC,所以BC⊥平面ACC1A1,所以BC⊥AC.

依题意设AC=BC=1，则AA1=2，以棱BD上的点D为三个角的顶点，