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高中数学存在性问题常见题型及解题策略

2020-11-15山东史立霞

教学考试(高考数学) 2020年1期
关键词:双曲线题型运算

山东 史立霞 秦 振

高中数学存在性问题,一般是已知某些条件,判断是否存在某种数学对象,使结论成立.这类问题的解题策略是先假设符合条件的数学对象存在,然后进行运算和推理,若经过运算能求出这个数学对象,或经过推理没有产生矛盾,那就说明符合条件的数学对象存在;若经过运算求不出这个数学对象,或者经过推理产生矛盾,那就说明符合条件的数学对象不存在.也可以找出一个符合条件的数学对象,然后证明其存在.下面结合例题介绍高中数学存在性问题的常见题型及解题策略.

一、是否存在“值”的问题

题型特点:一般是在确定的条件下判断某个常数是否存在,或是否存在某个常数的范围,或某条线段是否存在最小值(或最大值),或某个图形的面积是否存在最小值(或最大值)的问题.这类问题常常出现“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问词,以示结论有待判断.

解题策略:解决这类问题的策略是先假设需要探索的“值”存在,从条件和假设出发进行运算、推理,若出现矛盾,则否定存在;若不出现矛盾,则肯定存在.

【例1】(2019·全国卷Ⅲ理·20)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.

【分析】(Ⅰ)求出f′(x),利用导数与单调性的关系讨论解决;(Ⅱ)假设满足题设的a,b存在.由(Ⅰ)的结果,将问题转化为单调区间上的函数值问题,根据题意列出方程组,解方程组,得到a,b的值,然后判断所得值是否满足条件,得出结论.

若a=0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.

(Ⅱ)设满足题设的a,b存在.

(ⅰ)当a≤0时,由(Ⅰ)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1时,即a=0,b=-1.

(ⅱ)当a≥3时,由(Ⅰ)知,f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在[0,1]上的最大值为f(0)=b,最小值f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=1,2-a+b=-1时,即a=4,b=1.

综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,满足f(x)在[0,1]上的最小值为-1,最大值为1.

【说明】第(Ⅱ)问的解法具有代表性,它是利用(Ⅰ)的结果和方法,也就是由(Ⅰ)得到的“形成性解法”,经过计算,推理得到答案.

二、是否存在某种位置关系

题型特点:一般是在确定的条件下判断某一位置关系是否存在的问题.这类问题也是以“是否存在”“是否有”“是否变化”“能否出现”等疑问词呈现,以示结论有待判断.

解题策略:解决这类问题的策略是先假设需要探索的位置关系存在,设出点的坐标、或者直线方程、或者向量,从条件和假设出发进行运算、推理,若出现矛盾,则否定存在;若不出现矛盾,则肯定存在,最后求出点的坐标.

【例2】(2017·全国卷Ⅲ文·20)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:

(Ⅰ)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由.

(Ⅱ)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

【分析】(Ⅰ)假设能出现AC⊥BC.设A(x1,0),B(x2,0),由x1,x2的特点,可得x1·x2=-2,验证直线AC的斜率与直线BC的斜率之积是否等于-1,即可得出结论.(Ⅱ)通过求BC,AB的中垂线的交点坐标来确定圆心坐标及半径.由弦心距、半弦长、半径组成一个直角三角形,借助勾股定理求出弦长为定值,从而得证.

【解析】(Ⅰ)不能出现AC⊥BC的情况.理由如下:

【说明】常见的位置关系还有点与点、点与线、线与线、点与二次曲线、直线与二次曲线、二次曲线与二次曲线的关系等,解题时通过数形结合,合理转化,将题目变为我们熟悉的“常规”问题来解决.

三、是否存在点的问题

题型特点:一般是在确定的条件下判断某一点,或某几个点是否存在的问题.这类问题也是以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问词呈现,以示结论有待判断.

解题策略:解决这类问题的策略是先假设需要探索的点存在,设出点的坐标,从条件和假设出发进行运算、推理,若出现矛盾,则否定存在;若不出现矛盾,则肯定存在.最后求出点的坐标.

【例3】(2019·全国卷Ⅰ文·21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.

(Ⅰ)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径;

(Ⅱ)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.

(Ⅱ)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.

理由如下:

【说明】第(Ⅱ)问的解法是从条件入手,根据问题的特点,借助图形的性质,数形结合,推出结果,是典型的综合法.这也是解存在性问题的常用方法.

四、是否存在直线的问题

题型特点:一般是在确定的条件下判断某一条直线,或几条直线是否存在的问题.这类问题也是以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问词呈现,以示结论有待判断.

解题策略:解决这类问题的策略是先假设需要探索的直线存在,设出直线方程为y=kx+b,从条件和假设出发进行运算、推理,将问题转化为探索参数k和b的存在问题.若直线的斜率和截距存在,则所求直线存在,可求出直线方程;若出现矛盾,则否定存在.注意直线斜率不存在时,需要验证此时直线的存在性.

(Ⅱ)当∠F1AB=90°时,A在x轴上方,求A,B的坐标;

(Ⅲ)若直线AF1交y轴于M,直线BF1交y轴于N,问是否存在直线l,使得S△F1AB=S△F1MN,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

【说明】解第(Ⅲ)问时,根据直线的特点,设直线AB方程为x=my+2,避免了斜率的讨论;因可构成△F1AB,由m的存在判定直线l存在.在利用S△F1AB=S△F1MN时,根据图形的特征得S△F1AB=S△F1AF2+S△F1BF2,将两点M(0,ym),N(0,yn)的坐标转化为用A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标表示,由此联想到根与系数的关系,得到关于m的方程,从而得到直线方程.从解题过程可知,解决问题的过程就是将问题合理转化的过程.

五、是否存在圆锥曲线的问题

题型特点:一般是在确定的条件下判断某条圆锥曲线是否存在的问题.这类问题也是以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问词呈现,以示结论有待判断.

解题策略:解决这类问题的策略是先假设需要探索的曲线存在,设出曲线方程,从条件和假设出发进行运算、推理,若曲线是椭圆或双曲线时,就将问题转化为探索参数a,b的存在问题;若曲线是抛物线时,就将问题转化为求参数p是否存在问题;若曲线是圆时,设出圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,从条件和假设出发进行运算、推理,将问题转化为探索参数a,b和r的存在问题.若参数存在,则所求曲线存在,可求出曲线方程;若出现矛盾,则否定存在.

(Ⅰ)求双曲线E的离心率;

(Ⅱ)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,请说明理由.

若直线AB与双曲线E另有公共点N,则x1≠x2.因为x1=x2时,A,B关于x轴对称,y0=0.从而由对称性可知,AB与双曲线E有两个公共点,相矛盾.

当x1=x2时,有x1=x2=2,点M(2,0)在E上,此时M为E的右顶点,为AB与E的唯一公共点.

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