基于核心素养的问题串驱动教学——以“函数的单调性与导数”为例

广东 李 虎

1.基本情况

1.1背景

课堂教学越来越强调充分发挥学生的主体性，传统教学先学习理论知识再解决问题的弊端日益凸显.问题驱动教学法渐渐受到师生的欢迎，教师在此过程中的角色是问题的提出者、课程的设计者以及结果的评估者.笔者有幸在中山市第四届教育教学研讨会——高效课堂与教师专业发展会上开设了一节同课异构课，课题为“函数的单调性与导数”(选用的是人教A版教材选修2-2的1.3.1节内容).笔者以建构主义理论为指导，采用问题驱动教学法来设计这堂课，课堂以数和形两条线交织组织教学，渗透直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，以期提升学生的思维品质.

1.2学情分析

课堂学生为中山市第一中学高二年级实验班的学生，学生基础普遍比较好，但学习单调性的概念是在高一第一学期，因此学生对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.

在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课着重让学生通过探究来研究利用导数判断函数的单调性.

1.3教法分析

本节课借助几何直观，通过实例探索并了解函数的单调性与导数的关系，进而从单调性的定义和导数的定义出发,挖掘单调性和导数的本质联系.理解并掌握利用导数判断函数的单调性的方法，会用导数求函数的单调区间；通过对比练习体现导数判断单调性的一般性和有效性；同时让学生感受数学自身发展的一般规律.突破策略主要有“自主，合作，探究”.

教学目标：(1)探索函数的单调性与导数的关系;(2)会利用导数判断函数的单调性并求出函数的单调区间;(3)在“分析、实验、讨论、总结”的探究过程中,发展学生的自主学习能力和探究精神；(4)强化数形结合思想.

教学重点:利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.

教学难点:探究函数的单调性与导数的关系.

2.教学过程

2.1创设情境，引入新课

【问题1】研究函数f(x)=x-ex的单调性.

生1：描点作图，观察图象，写出单调区间.

教师：未知图象形状，手工描点作图不精确.

生2：对∀x1,x2∈R,当x1

教师：这个问题，从形和数两个角度都无法进行下去，下面我们寻求新的方法研究函数的单调性.

设计意图：创设情境，引发学生的认知冲突，激发探究新方法的热情，引入新课.

2.2探究新知

【问题2】观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象、高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5的图象.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

学生观察两个函数图象.

生3：运动员起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，这个过程中v(t)=h′(t)>0.从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小，这个过程v(t)=h′(t)<0.

众生：归纳观察到的结论可知，f(x)在某个区间(a,b)内可导,

f(x)在(a,b)内单调递增⟹对∀x∈(a,b),有f′(x)>0;

f(x)在(a,b)内单调递减⟹对∀x∈(a,b)，有f′(x)<0.

设计意图：培养学生观察，看图，分析，概括，总结能力.让学生观察高度随时间变化和瞬时速度随时间变化的图象，体会这二者的关系,体会数形结合的思想.

【问题3】这种情况是否具有一般性呢？

实验：用笔或直尺代表切线，观察总结出可导函数在某区间上单调时导数的情况，并小组讨论，总结,验证刚才的猜想.

生4：f(x)在某个区间(a,b)内可导,

f(x)在(a,b)内单调递增⟹对∀x∈(a,b),有f′(x)≥0；

f(x)在(a,b)内单调递减⟹对∀x∈(a,b),有f′(x)≤0.

教师：对上述几个函数求导，从数的角度验证上述猜想的结论是否成立？

众生：成立.

设计意图：引导学生寻找实例支持.从中不仅验证单调性与函数的关系，更培养学生如何发现规律.体会从特殊到一般的研究问题的思想方法.

【问题4】单调性和导数这种联系的本质是什么呢？

以f(x)在(a,b)上单调递增为例，由单调性的定义,其中“x1

教师：它的几何意义表示什么？

生5：平均变化率，割线的斜率.

设计意图：启发学生从单调性的定义和导数的定义中寻找两者的联系.发掘事物背后的内在联系，尝试让学生在原有认知的基础上建构新知.

【问题5】上面的研究，我们可以看到，对可导函数来说，由单调性可以得到导函数的符号，反过来，已知导函数在某区间上的符号可以得到单调性吗？

教师：回到跳水的例子，瞬时速度大于零，可以得到高度随时间在增大吗？瞬时速度小于零，可以得到高度随时间在减小吗？

众生：可以.

教师：刚才我们研究过的几个幂函数是否也满足这一情况？对于指数函数，对数函数请验证你的猜想，并归纳.

生6：f(x)在某个区间(a,b)内可导,

f′(x)>0⟹f(x)在(a,b)内单调递增；

f′(x)<0⟹f(x)在(a,b)内单调递减.

教师：借助图形分析，要证明单调性，相当于证明任意两点连线的割线斜率大于零，怎样将割线的斜率与这个区间上的某点的导数联系起来？借助图形简单介绍中值定理.然后穿插数学史，拉格朗日中值定理：

设计意图：让学生用数形结合的思想、导数的几何意义去初步了解结论的正确性.引入中值定理，说明结论的正确性.

【问题6】如果在某个区间(a,b)内恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特征？

众生：常值函数.

设计意图：特殊情形的处理，拓展学生思维的宽度.

【问题7】在某个区间(a,b)内,f′(x)>0⟹f(x)在(a,b)内单调递增.这个命题的条件是否可以改成f′(x)≥0？

生7:不可以.函数f(x)在某个区间(a,b)上，若f′(x)≥0且在(a,b)的任意一个子区间上不恒为0，则f(x)在(a,b)内单调递增.

设计意图：不断的修正完善定理，让学生自主建构知识体系.

2.3应用举例

【例1】确定函数f(x)=x2-4x+3的单调区间.

生8：导函数为f′(x)=2x-4，单调递增区间为(2,+∞)，单调递减区间为(-∞,2).

教师：有没有用以前的方法做的？

生9：有，求对称轴.

设计意图：让学生感受导数法的有效性，与原有图象法，定义法做对比，了解导数的优势.

【例2】试确定下列函数的单调区间.

(1)f(x)=2x3-6x2+7；(2)f(x)=x-ex；(3)f(x)=xlnx.

教师给出(1)规范的板书，并画出函数和导函数图象(略).学生完成(2)和(3),教师找两份比较有代表性的范例，来强调做题格式，易错点等.并借助几何画板画出图象，强化学生的直观感觉.

设计意图：应用新知识解决之前不能解决的问题,做到首尾呼应.从中掌握如何具体的应用导数解决函数单调性问题.强调函数问题定义域优先，单调区间的书写格式等问题.

2.4课堂小结与作业

谈谈本节课你的收获？请从下面几个关键词选一到两个对本节课小结.关键词：知识点、思想方法、解题步骤、易错点.

作业：P26练习1,4；P31A组1,2.

设计意图：开放式的小结，让学生对本节课学到的知识、思想方法、易错点等进行梳理.培养学生“学习——总结——反思”的良好习惯，使思维层次更上一个台阶.

3.启示与反思

3.1教学设计的立意

本设计中，笔者通过激发学生认知冲突，引出问题，观察本章自始至终用到的高台跳水的例子，初步发现单调性与导数之间的关系，然后举出一些幂函数的实例，来归纳出结论，接着对结论进一步研究，它们的本质联系是什么呢？通过探究单调性定义和导数定义，抓住两者都和割线的斜率有联系，通过这一桥梁沟通了两者的联系.为了帮助学生自主建构认知，教学过程始终形与数交织在一起，从直观和抽象两个角度不断进行论证，让观察猜想——归纳结论——论证结论——应用结论这一逻辑链条尽可能完善.

3.2教学反思

本节课上完后，得到专家以及各位同行的一致好评，但是也有很多不足之处.本节课问题的设计做到了层层递进，但是问题的设计不够精练；课堂氛围比较活跃，但是学生活动环节较少，学生讨论较少.归纳结论阶段举例的函数都是幂函数，这样显得单一，可以举一些指数函数、对数函数、或者让学生自己举一些初等函数出来，进而归纳出单调性与导数的关系，这样更有说服力一点.课堂上，对学生回答问题后缺少表扬鼓励的环节，这样学生无法获得成就感，对学生的成长不利.本节课多处用到数形结合，从形到数，从数到形之间的切换有时过快，没有给学生留足够的时间.随着时代的发展，学生获得知识的渠道越来越多，知识本身的价值越来越低，但是怎样教会学生去发现问题、提出问题、研究问题、解决问题，并进行反复检验修正自己的认知，变得越来越重要.

本节课在教学中也有很多突发情况，比如有学生在归纳导数与函数单调性时归纳错了，笔者并没有马上指出错误，而是让学生们再想一想，让其他学生来修正这个结论，一步一步地完善.在由跳水瞬时速度图象观察发现位移随时间的变化时，笔者根据导数的物理意义，在位移随时间变化的图象上做出了此处的切线，并根据导数的大小，做出一个向量，利用这个向量表示此时的瞬时速度，利用向量知识和物理里面速度的分解帮助学生思考并收到良好效果，而这个处理方式是在备课时没有准备的，课堂上学生这里反应不好，灵机一动想到的.