例说一类复合函数零点个数的解题策略

广东 叶土生

1.问题的提出

纵观近几年全国各省市的各类模拟考试题及高考试题中，函数零点是考查的重点.这类问题常常作为能力题出现，其中有一类复合函数的零点个数问题是近些年的考查热点和难点.这类问题不仅可以涉及函数的各类性质，同时也可以将函数与方程、数形结合、分类与整合以及化归与转化等高中常见的数学思想方法蕴含其中进行综合考查.所以复合函数的零点问题具有综合性强和难度大等特点，对考生的思维能力、运算能力和转化能力等都提出了很高的要求.对于这类问题，学生普遍感觉难以把握，并且有些教师在讲解这类问题时，也是就题论题，没有给学生解释清楚其中的原理和主要的解题策略.本文试图通过具体的例题将这类零点问题进行深层次的剖析，从中归纳出解题要领和策略.首先我们先从一道模拟试题探寻这类问题的解题思路和技巧.

2.典型例题解析

例1.如图，偶函数f(x)的图象如字母M的形状，奇函数g(x)的图象如字母N的形状，若方程f[g(x)]=0，g[f(x)]=0的实根个数分别为m，n，则m+n=

( )

A.18 B.16

C.14 D.12

解:由图象知，f(x)=0有3个实根xi(i=1,2,3)，其中x1∈(-2,-1)，x2=0，x3∈(1,2).g(x)=0有3个实根yi(i=1,2,3)，其中y1∈(-1,0)，y2=0，y3∈(0,1).由f[g(x)]=0，得g(x)=xi(i=1,2,3).由图象可知方程g(x)=xi(i=1,2,3)都有3个实根，因而m=9；由g[f(x)]=0，得f(x)=yi(i=1,2,3)，由图象可得f(x)=yi(i=1,2,3)的实根个数分别为2,3,4，即n=9，所以m+n=9+9=18，故选A.

刚才我们分别从代数和图象两个角度分析了f[g(x)]=0解的个数的解题策略，即可以先进行换元将问题转化为求解一个二元方程组，并结合f(x)和g(x)的函数图象观察得到结果.我们可以把这一策略进行推广，对于这一类问题都可以从以上两个角度进行研究.

例2.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1

( )

A.3 B.4

C.5 D.6

下面再看一例含参的较为综合的问题，如果把以上方法领悟透了，问题也是能迎刃而解的.

( )

A.(-1,0) B.(0,1)

分析:本题提供的参考答案是将函数h(x)直接进行求导，然后分析函数的单调性，极值点，结合极限的思想进行分类讨论，非常复杂，学生很难领悟.如果用类似于前面的方法将问题分而治之，问题的解决思路就显得非常简单清晰.

f(x)的性质较为明显，是偶函数，且当x≥0时，f(x)=2x-x2，从而很容易画出函数图象，如图所示.

当k>0时，f(t)=k有四个不同的解；当k=0时，f(t)=k有三个不同的解；当k<0，f(t)=k有两个不同的解.

而当k≤0时，可以看出h(x)最多只有三个零点，如图所示，不合题意；

当k>0时，观察图象，h(x)可能有4个、5个或6个零点，共三种情况.

例4.已知函数f(x)=x2+px+q，且f[f(x)]=0仅有一实根.求证:p≥0,q≥0.

分析:本题的参考答案提供的是先用零点式表示出f[f(x)]，然后针对判别式Δ进行分类讨论，运算较为烦琐，学生也不易想到其中技巧.以下提供一种类似以上的方法技巧，能很巧妙地解决本题.

3.体会与反思