类比迁移理论视角下高中空间向量教学研究

庞礼金

[摘  要] 文章基于类比迁移理论视角探究了高中空间向量教学，提出了“优化类比形式，精选类比环”“及时总结归纳，反思学习方法”“示例层层递进，优化图式结构”“聚焦几何特征，把握问题本质”等策略.

[关键词] 类比迁移;高中数学;空间向量

作为研究三维空间的有效工具，高中空间向量在研究空间基本图形的位置和度量关系越来越有效，甚至在解决复杂空间问题时还优于综合几何方法.相当数量的教师在组织学生学习空间向量时往往类比平面向量的学习，但是空间向量不只是简单地将二维向量增加一个维度就能解决问题，并且，空间向量又具有自身独特的抽象原理与运算规则，这种现象的存在在一定程度上影响了高中空间向量学习的质量和水平. 类比迁移理论是消除这一不利影响的可行手段，能够有效帮助学生解决空间向量教学的相关问题，因此，在类比迁移理论视角下，探究高中空间向量教学策略具有重要的意义.

优化类比形式，精选类比环节

最初在学习空间向量知识时，由于向量概念较为零散，并且缺乏一定的系统性与结构性，若在教学中直接采用类比形式，则很容易导致学生学习任务繁重，并且在学习效果方面只能达到平面向量和空间向量之间初级关系的类比，因此，在组织学生学习空间向量概念时，教师应适当增加例题教学，促使学生将源问题类比迁移到靶问题上[1]■.

例如，在组织学生理解空间向量加法运算概念时，笔者呈现了如下例题，即：已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则■+■+■=■.实质上，若将该题目中的空间四边形修改为平面四边形，则学生无疑就能对应找到源问题，从而通过类比迁移平面向量知识理解空间向量的结合律和交换律.

又如，在组织学生利用空间向量证明四点共面问题时，即：空间中不共线的三点A，B，C和任意一点O，已知点D在平面ABC内，试证明：■=x■+y■+z■，x+y+z=1. 为了有效帮助学生寻找源问题与靶问题之间的匹配与映射，笔者及时利用学生已學知识，通过类比迁移理论增加了如下例题教学，即点O为平面内的任意一点，已知点A，B，C在一条直线上，试证明：■=x■+y■，x+y=1，要求学生开展合情推理中的类比推理学习.

及时总结归纳，反思学习方法

由于相当数量的高中学生缺乏一定的学习自主性，思维习惯不够良好，并且快速匹配源问题和靶问题仅是完成了基础性的教学，因此，教师应适时帮助学生总结归纳，及时根据学生的学习现状和知识掌握情况查漏补缺，促使学生形成完整的知识图式，从本质上有效解决核心问题.

例如，在组织学生学习空间向量数量积运算时，空间向量运算律与平面向量运算律十分相似，但这并不意味着学生就能有效解决相应题目，进而真正掌握知识构建图式[2]■. 如图1所示，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，其同一顶点为端点所形成的夹角为60°，且棱长均等于1，试求该平行六面体中对角线AC1的长度. 虽然这道题目的计算并不复杂，但由于学生类比平面向量，致使在解题过程中往往是记忆大于理解，忽略了空间向量背后的几何意义，因此，教师应最大限度地发挥自己的主导作用，引导学生及时归纳总结、查漏补缺，形成完整的知识图式.

同时，为了有效降低类比迁移的副作用，避免会而不对的现象，教师应引导学生对多个类比问题进行比较，促使学生不断反思. 例如，立体几何背景下，解决空间向量夹角问题的本质是什么？应用坐标法表示空间向量与平面向量有什么异同等等.

示例层层递进，优化图式结构

无论是引入新知，还是巩固所学知识都离不开示例，而空间向量知识的学习，最终还是要落脚在立体几何问题解决上，还是要通过示例帮助学生理解. 值得注意的是，虽然空间向量知识本身具有鲜明的特点，并且空间向量的相关知识本身就是一环扣一环的，但学生解决综合问题的能力并没有得到有效提高，究其原因是空间直线的代数表示在高中阶段并没有明确说明. 因此，为了最大限度地避免由于该知识的欠缺而导致的负迁移，教师应在示例选择时做到层层递进.

例如，在应用类比迁移理论迁移平面法向量时，笔者首先选取了如下直线的方向向量示例，即：如图2所示，a，b为直线l在x轴、y轴上的截距，试求与直线l垂直的向量m.

由题意可知，直线l的方向向量可以用n=（a，-b）表示，根据m·n=0，则可获得向量m=■，■

显然，上述解题从平面入手，应用类比迁移理论，将其推广到空间中，有效回避了当前无法直接表示出空间直线代数特征这一问题.随后，在学生完全理解上述知识后，为了研究的深入，笔者又创设了如下示例，即如图3所示，平面α在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a，b，c，试求平面α的法向量.

类比上述案例，不妨设法向量为u=（x，y，z），实质上，p=（a，-b，0），q=（0，b，-c），根据p∥平面α，q∥平面α，p·u=0，q·u=0，则可求得u=■，■，■. 值得说明的是，如何恰当快速的选取至关重要，而上述利用示例解题的方式，有利于学生形成相关图示，从而更好地帮助学生理解和应用法向量.

聚焦几何特征，把握问题本质

为了关注图形的几何特征，促使学生能够独立描述解决立体几何问题的一般程序，教师应引导帮助学生建立空间直角坐标系，而图形几何特征是构建坐标系的必要条件，实质上，高中数学教学中接触到的立体几何图形往往复杂多样，如果不注重空间几何特征，则很难掌握问题的本质.

例如，如图4所示，已知等边三角形的边长为2，点P为△ABC内的一点，试求■·（■+■）的最小值.

如果按照传统方式，要求■·（■+■）的最小值，则需要先判断点P的位置，然后求得PA的模长，显然，这种解题模式较为麻烦. 若在此解题过程中，利用等边三角形的对称性，按照图4所示建立平面直角坐标系，则在平面图形与向量之间建立了联系，使得该问题转换为如下形式，即：

不妨设P（x，y），则■=（-x，■-y），■+■=（-2x，-2y），因此，■·（■+■）=2x2+2y-■■-■，当且仅当P为0，■时，则■·（■+■）取得最小值，最小值为-■.

又如，如图5所示，已知D′H⊥菱形ABCD，AB=5，AC=6，AE=CF=■，OD′=■，则试求二面角B-D′A-C的正弦值.

显然，熟知图形的几何特征是解决问题的关键. 通过几何直观建立直角坐标系，即以H为原点，建立H-xyz直角坐标系，将几何条件坐标化，利用代数方法很快便能求出二面角B-D′A-C的正弦值.值得一提的是，上述题目解决中，若仅考虑平面，则坐标原点还可以选取点O，但坐标原点选取点O后，会大幅度增加运算的难度.

总之，在具体教学实践中，教师应引导学生从平面向量入手，紧扣问题结构，采取类比迁移式的教学方法，并及时总结归纳，有效把握问题本质，最大限度地避免由平面向量所带来的负迁移. 只有这样，才能实现由二维的平面向量正向迁移至三维的空间向量，才能形成空间向量部分的图式构建，有效培养学生的空间想象能力.

参考文献：

[1]  向往. 基于类比迁移理论的空间向量教学研究[J]. 湖南师范大学，2019（5）.

[2]  余建国. 数学核心素养视域下的“空间向量的基本定理”教学[J]. 中学教研（数学），2019（5）.