启之以“思”，导之以“问”

陆春东

[摘  要] 思维是课堂生长的生命线，而问题又是思维的导火线，因此，在课堂教学过程中，教师要充分结合高中数学的教学内容，巧妙地将问题锁定教学内容和学生的思维生长，也巧妙地设计问题链来助推問题的深入和学生思维的递进，以此促进高中数学学科素养的进阶渗透.

[关键词] 思维;问题;高中数学;生长

导学单是课堂教学时学生与教师共同使用的一体化教学讲义，导学单的设计通常由任教同一年级的教师集体研讨而定，导学单的设计以新课程标准为指导、以发展学生的核心素养为目标，旨在引导学生主动学习、积极参与、合作探究、掌握知识、发展能力. 在近几年的初高中教学中，导学单在全国范围内得到了极大的推广，它的成效得到了师生们的肯定.导学单在高中数学课堂推行了多年，高中数学高效课堂的实现也以优质的导学单为依托，导学单的成效很大程度上取决于它的内容设计，如何设计导学单才能充分体现其作用？对此，笔者结合自己的实践谈几点数学导学单设计的策略，希望能给各位同仁以参考.

以问导学：导入提问化

导入是新授课的展开环节，在相对朴实的高中数学课堂中，没有形式丰富的导入环节，问题是最常见的导入方式，以问导学能够有效激发学生的求知欲，促进学生学习的主动性.

如《三角函数的图像与性质（一）》的主要教学内容是正弦函数的图像，在引入环节可以设置如下问题.

问题1：画函数图像的基本步骤是什么？

问题2：怎样用几何方法描出点（x0，sinx0）？

问题3：作y=sinx，x∈[0，2π]的图像.（为什么要作[0，2π]的图像？）

问题4：y=sinx，x∈[0，2π]的图像上起关键作用的点是什么？

问题5：怎样由y=sinx，x∈[0，2π]的图像得到y=sinx，x∈R的图像？

问题6：怎样由y=sinx的图像得到y=cosx的图像？

问题7：y=cosx，x∈[0，2π]的图像上起关键作用的点是什么？

学习就是做学问，问题承载着知识，知识渗透着问题. 导学单的重要作用是“导”，问题串的设置可以唤醒学生的思考意识，同时正确引导学生的思维方向，体现“导学”的实质，通过一个一个问题，让学生轻松地接触新的知识点.

以题理知：新知问题化

题目是构成导学单的重要内容，对于以提高能力为主的高中数学而言，知识更多地体现在解决问题的过程中，因此以题理知是获取新知的重要途径，也是提高导学单成效的方法之一.

以《函数y=Asin（ωx+φ）的图像（一）》教学过程为例：

例1：画出函数y=2sinx（x∈R），y=■sinx（x∈R）的图像，观察图像并与y=sinx的图像进行比较，你能得出什么结论？

例2：画出函数y=sin2x（x∈R），y=sin■x（x∈R）的图像，观察图像并与y=sinx的图像进行比较，你能得出什么结论？

例3：画出函数y=sinx+■（x∈R），y=sinx-■（x∈R）的图像，观察图像并与y=sinx的图像进行比较，你能得出什么结论？

例4：画出函数y=3sin2x+■（x∈R）的图像，观察图像并与y=sinx的图像进行比较，你能得出什么结论？

新知归纳：____________________

_________________________________.

本节课的重点是函数图像的平移，直接灌输平移对应的解析式变化规律显然不利于学生的接受，而以具体的例题呈现可以让函数图像平移规律变得直观、易懂，从问题的解决中归纳新知更利于知识的内化.

以类固知：知识类别化

“类”是指相同或相近的知识，在教学中同类知识可以相辅相成、融会贯通，立足“类”来打通学生的思维是高中数学的教学方法之一，知识类别化也是最利于学生接受的.

如《函数的值域（1）》的学习目标是知道值域的含义，并掌握几种常见函数的值域的求法. 其中，求函数值域的基本思想就是会对几种常见的范围进行推导，因此本课的导学单设计首先对几种常见的范围推导进行归类.

（1）整式范围推导：

①函数y=3x+2（-1≤x≤2）的值域为________？

②函数y=-3x+2（-1≤x≤2）的值域为________.

注：两边同乘以一个负数时要改变不等号的方向.

（2）倒数范围的推导：

①函数y=■的值域为________.

②函数y=■（x>1）的值域为______.

③函数y=■（x<-1）的值域为____.

注：多结合函数y=■的图像求解倒数的范围.

（3）平方范围的推导：

①函数y=x2的值域为________.

②函数y=x2（1

③函数y=x2（-2

④函数y=x2（-2

⑤函数y=x2（-2

注：多结合函数y=x2的图像求解平方的范围.

将几种常见的函数范围的求解方法进行归类，可以让学生的思路清晰，在求解值域时有针对性、有目标，不会茫然. “类”并不局限于本节课的教学内容，可以跨越章节，甚至可以跨越学科，在导学单中将知识类别化，可以让学生更清晰地感受到知识间的联系，有利于其掌握数学学习的规律，提高课堂教学效率.

以思固法：方法思想化

数学是一门以掌握方法为主的学科，在提倡发展学生核心素养的新时期数学教学中，数学思想成了数学方法的灵魂，因为数学思想更能体现数学的逻辑，也更利于学生的数学意识发展，因此导学单的设计中应该让数学思想得以充分的体现.

以下是《三角函数的诱导公式（1）》中对诱导公式的推导过程.

（1）分析：

两个角的终边特殊关系有①终边相同;②终边关于x轴对称;③终边关于y轴对称;④终边关于原点对称;⑤终边关于直线y=x轴对称.

（2）诱导公式的推导：

①根据三角函数的定义：终边相同的角的同一个三角函数相等.

sin（α+2kπ）=______;

cos（α+2kπ）=______;

tan（α+2kπ）=____，k∈Z. （公式一）

②终边关于x轴对称的两个角的关系为______.

探究它们的三角函数值的关系：

sin（-α）=______;

cos（-α）=______;

tan（-α）=______.（公式二）

③终边关于y轴对称的两个角的关系为______.

探究它们的三角函数值的关系：

sin（π-α）=______;

cos（π-α）=______;

tan（π-α）=______.（公式三）

④终边关于原点对称的两个角的关系为______.

探究它们的三角函数值的关系：

sin（π+α）=______;

cos（π+α）=______;

tan（π+α）=______.（公式四）

⑤终边关于直线y=x轴对称的两个角的关系为______.

探究它们的三角函数值的关系：

sin■-α=______;

cos■-α=______.（公式五）

⑥将公式五中的α用-α代入得：

sin■+α=______;

cos■+α=______.（公式六）

诱导公式的作用：______.

上述公式的记忆方法：______.

上述推导过程中渗透的数学思想：_________________________________.

诱导公式的作用是“变大为小，化负为正”，记忆方法为“奇变偶不变，符号看象限”，其中渗透了转化、化归的数学思想. 从掌握方法、发展数感的角度来看，数学思想的领会比学习数学知识更重要，数学思想对学生的作用不仅是现在的，更是终身的，它能让学生真正学会学习，形成数学意识.

以生控教：课堂自主化

传统的教师讲授、学生被动接受式的教学方式早已成为历史，如今的课堂是以学生为主体的自主化课堂，学习内容由学生把控. 导学单中虽然教师预设的成分居多，但是设计时依旧要遵循学生主体的策略.

如下是《同角三角函数的关系（2）》中对三角恒等式的推导過程.

知识回顾：

同角三角函数的两个基本关系式：①______;②______.

回答：①sin22α+cos22α=______;

②sin2（α+β）+cos2（α+β）=______.

平方关系式可以有如下的变形：sin2α=1-cos2α=（1+cosα）（1-cosα）.

据此证明：■=■. （证明过程由学生自己完成）

你还能推导出另一个与此类似的等式吗？

上述学习过程由学生自主完成，部分学生会根据上述等式的形式及三角函数之间的联系推导出■=■，显然该公式与前一个公式是一样的，这时教师需要引导其根据三角函数的关系进行推导，从而得出公式■=■.在这个过程中，学生学习的主体性得到了体现，同时教师的引导与完善也是不可忽略的.

导学单最大的特点是可以直观体现教与学的过程，既可以让教学过程清晰简明，又可以让学生的学习变得有迹可循，方便学生进行巩固与反思.导学单是教师进行课堂教学所勾画的“蓝图”，它承载着教师的智慧与成果，同时也是学生学习与成长的摇篮，优质的导学单设计是实现高效课堂的保障.导学单作用一在“启发”，是对思想及思路的启发;二在“引导”，是对问题解决的引导.启之以“思”，导之以“问”，真正实现高中数学高效课堂.