判断函数零点个数的三种方法

戴彭晴

对于函数y=f(x)(x∈R)，我们把方程f(x)=0 的根叫作函数y=f(x)的零点。下面归纳几种求函数零点的方法，供大家学习与参考。

方法一：解方程法

解：函数f(x)的定义域是(3，+∞)。由f(x)=0，可得x=2 或x=1，但1∉(3，+∞)，2∉(3，+∞)，故函数f(x)没有零点。

评析：若函数f(x)对应方程f(x)=0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点。

例2 求函数f(x)=ax2-x-1的零点。

评析：求函数f(x)=ax2-x-1 的零点，要对系数a 进行分类讨论。

方法二：零点存在性定理法

评析：利用零点存在性定理，不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质，才能确定函数的零点个数。

方法三：数形结合法

例4 函数f(x)=x-3+lnx 的零点个数为____。

解：令f(x)=x-3+lnx=0，则lnx=3-x，在同一平面直角坐标系内画出函数y=lnx 与y=-x+3的图像，如图1所示。

由图可知，函数y=lnx 与y=-x+3的图像只有1个交点，即函数f(x)=x-3+lnx 只有1个零点。

解：求函数y=f(x)+x-4 的零点个数，即求函数y=-x+4与y=f(x)的图像的交点的个数。画出函数y=-x+4与y=f(x)的图像(图略)。由图可知，函数y=-x+4与y=f(x)的图像有2个交点，即函数y=f(x)+x-4的零点个数为2。

评析：数形结合法是求函数零点个数的常用方法。这种方法，直观明了，但需要作出准确的图像。