分类解析指数函数的性质应用问题

田煌英

高考对指数函数的性质及应用的考查常以选择题或填空题的形式出现。常见的命题角度有：比较大小，简单的指数不等式的应用，探究指数型函数的性质等。

一、比较大小问题

例1已知a=20.2，b=0.40.2，c=0.40.6，则( )。

A.a＞b＞c B.a＞c＞b

C.c＞a＞b D.b＞c＞a

解：由0.2＜0.6，0＜0.4＜1，并结合指数函数的性质可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c。

因为a=20.2＞1，b=0.40.2＜1，所以a＞b。故a＞b＞c。应选A。

评析：指数式的比较大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法求解。

二、指数函数的图像恒过定点问题

例2函数y=ax-2020-3(a＞0 且a≠1)恒过定点( )。

A.(2020，2) B.(2020，-2)

C.(2020，3) D.(2020，-3)

评析：解答本题的关键是令a=2和a=4 得到一个方程组求解的。或者，令x=2020，也可求解，同学们不妨试一试。

三、指数函数的单调性问题

A.(1，2)

B.(2，+∞)

C.(0，1)∪(2，+∞)

D.(0，1)

解：当0＜a＜1时，a-2＜0，y=ax单调递减，可知f(x)单调递增；当1＜a＜2 时，a-2＜0，y=ax单调递增，可知f(x)单调递减；当a=2时，f(x)=0；当a＞2时，a-2＞0，y=ax单调递增，可知f(x)单调递增。

由题意可知函数f(x)单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，+∞)。应选C。

评析：解题时要注意函数y=ax(a＞0且a≠1)的单调性与底数a 的取值关系。

四、利用指数函数的单调性求参数的取值范围

例4已知函数f(x)=4x+m·2x-2在区间[-2，2]上单调递增，则实数m 的取值范围为( )。

评析：对于同时含有ax与a2x(a＞0 且a≠1)的函数、方程或不等式问题，通常令t=ax进行换元求解，但要注意新元的取值范围。

五、指数函数的恒成立问题

例5当x ∈(-∞，-1]时，不等式(m2-m)·4x-2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( )。

A.(-2，1) B.(-4，3)

C.(-1，2) D.(-3，4)

评析：函 数f (x)≤a 恒 成 立，则f(x)max≤a；函 数f(x)≥a 恒 成 立，则f(x)min≥a。

六、与指数函数有关的奇偶性问题

A.一定是奇函数

B.一定是偶函数

C.可能是奇函数

D.可能是偶函数