函数应用核心考点综合演练

欧阳亮

一、选择题

1.函数y=x2-bx+1有一个零点，则b的值为( )。

A.2 B.-2

C.±2 D.3

2.函数f(x)=ln(2x)-1的零点所在的区间是( )。

A.(2，3) B.(3，4)

C.(0，1) D.(1，2)

3.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)=2x+2x-4。则f(x)的零点个数是( )。

A.2 B.3

C.4 D.5

4.函数f(x)=ex+x-3在区间(0，1)上的零点个数是( )。

A.0 B.1

C.2 D.3

5.设 函 数y=log2x-1 与y=22-x的 图像 的 交 点 为(x0，y0)，则x0所 在 的 区 间是( )。

A.(0，1) B.(1，2)

C.(2，3) D.(3，4)

A.0 B.1

C.2 D.3

7.函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当-1≤x≤1 时，f(x)=|x|。若函数y=f(x)的图像与函数g(x)=logax(a＞0，且a≠1)的图像有且仅有4个交点，则a 的取值集合为( )。A.(4，5) B.(4，6)C.{5} D.{6}

A.(0，1]

B.[1，+∞)

C.(0，1)

D.(-∞，1]

9.某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3 次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )。

A.略有盈利

B.无法判断盈亏情况

C.没有盈利也没有亏损

D.略有亏损

二、填空题

13.某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4 万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4 万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问大约使用____年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元。

14.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入。若该公司2016 年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_____年。(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.3)

(1)求函数y=g(x)的解析式。

(2)若方程f(x)=a 在x∈[0，1]上有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围。

17.已知函数f(x)=log2(2x+1)。

(1)求证：函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增。

(2)若g(x)=log2(2x-1)(x＞0)，且关于x 的方程g(x)=m+f(x)在[1，2]上有解，求m 的取值范围。

(1)求f(50)的值。

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大。

(1)当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利。如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?

一、选择题

1.提示：因为函数有一个零点，所以Δ=b2-4=0，所以b=±2。应选C。

2.提示：f(x)=ln(2x)-1 是(0，+∞)上的增函数，是连续函数，且f(1)=ln2-1＜0，f(2)=ln4-1＞0，根据函数零点的存在性定理可得函数f(x)的零点位于区间(1，2)内。应选D。

4.提示：由题意知函数f(x)是增函数。根据函数的零点存在性定理及f(0)=-2，f(1)=e-2＞0，可知函数f(x)在区间(0，1)上有且只有1个零点。应选B。

7.提示：因为f(x+2)=f(x)，所以f(x)的 周 期 为2。当x ∈[-1，1]时，f(x)=|x|。在同一直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)=logax 的图像(图略)。若函数y=f(x)的图像与函数g(x)=logax(a＞0，且a≠1)的图像有且仅有4个交点，则a＞1且函数g(x)=logax 的图像过点(5，1)，即a=5。应选C。

9.提示：设买入股票时的价格为m(m＞0)元，先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为

m×(1+10%)3×(1-10%)3=0.993m＜m，

所以该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损。应选D。

二、填空题

10.提示：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，+∞)上是增函数，所以f(0)=0。又因为f(-2)=0，所以f(2)=-f(-2)=0。故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0。

12.提示：将函数f(x)=log2(x+a)的零点x=1-a，代入x2-(a+1)x-4(a+5)=0得到(1-a)2-(a+1)(1-a)-4(a+5)=0，解得a=5或a=-2。

13.提示：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4 万元。依题意可得14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4，化简可得x-6×0.9x=0。令f(x)=x-6×0.9x，易得f(x)为单调递增函数。又f(3)=-1.374＜0，f(4)=0.0634＞0，所以函数f(x)在(3，4)上有一个零点。故大约使用4 年后，用在该车上的费用达到14.4万元。

三、解答题

因为240＞200，所以当每月处理量为400t时，才能使每吨的平均处理成本最低。