浅谈“弧长及扇形面积”教学难点中的问题

应位峰

【摘要】几何作为初中数学的重要组成部分，对培养学生的空间观念、逻辑思维能力有着非常重要的影响，有助于学生数学学科核心素养的形成.在九年级数学教学中，“圆”这一章节有一课“弧长及扇形面积”，很多教师发现教学效果不佳，学生对于这一课所学的公式掌握得也不是很到位，对于具体的题目不会灵活地运用公式去解决.本文对这个问题进行了浅显的研究，希望能够对学生灵活运用公式提供一点帮助.

【关键词】公式;计算;教学

“弧长及扇形面积”这一课的内容主要涉及弧长公式与扇形面积公式的推导过程及其在实际问题中的运用.这几个公式是以圆的周长与面积公式为依据的，因此，这节课的内容属于圆的相关计算中的一个重要问题，也是后续学习圆锥侧面展开图的基础.在初中数学教学实践中，笔者发现很多学生对于弧长公式与扇形面积公式的推导过程理解得不透彻、不深刻，遇到新的题目时往往找不到正确的解题思路，不会灵活运用公式.基于此，本文围绕“弧长及扇形面积”这一课的教学现状，探讨问题所在及化解对策，以期进一步提高教师的教学效率，并且让学生更熟练地掌握这些公式.

一、问题由来

（一）教学目标

对于苏教版九年级数学中关于“弧长与扇形面积”这一课，笔者根据自己班上学生的学习情况并结合教学大纲要求设定了下列教学目标：

1.知识目标：学生通过自主探索去认识扇形，从而了解弧长与扇形面积公式，学会运用弧长公式与扇形面积公式去解决一些实际问题.

2.能力目标：

学生通过自主探索，经历弧长及扇形面积公式的具体推导过程，从而锻炼他们的自主探索能力.教师引导学生运用相关公式进行解题训练，以提高他们应用知识的能力、空间想象能力及动手画图能力，同时，让他们体会从一般到特殊的数学思想.

3.情感与价值目标：学生通过欣赏生活中的相关图片体会到数学与我们的美好生活有着密切的联系，从而激发他们对数学学习的热情.学生通过对弧长与扇形面积公式的自主探索，使其在参与过程中获得情感体验.学生在与同桌交流、讨论、探究的过程中能够更多地展示自我，树立自信心，从而建立正确的价值观.

（二）教学重难点

1.重点：教师引导学生经历弧长与扇形面积公式的推导过程，并能应用弧长及扇形面积公式解决问题.

2.难点：学生对三个公式的灵活应用.

二、问题剖析

（一）教学时间的分配

很多数学教师在教学时间安排上存在不合理的问题，大多是因为他们为了让学生有充足的探索时间可以有效完成对弧长及扇形面积公式推导过程的探索.因此，很多教师在这一教学环节花费了过多时间，导致后面的教学环节的时间很紧张，不得不压缩后面的教学内容.这使得学生在公式的运用方面没有足够的时间去掌握，从而使知识的巩固与内化效果相对不高.

（二）例题教学的设置

教材设置的两道例题分别是：

例1 如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，设⊙O的半径为2，求弧BC的长.

例2 如图2，折扇打开后，OA，OB的夹角为120°，OA的长为30 cm，AC的长为20 cm.求图中阴影部分的面积.

例1已知R的值，而要求n，就要添加辅助线构造圆心角，再利用同弧所对圆心角与圆周角的关系进行转化得到.例2首先要引导学生先分析图形之间的数量关系，再确定R，n的值选择公式2进行计算.这样的例题设置对刚掌握公式的学生来说，由于涉及一些对图形的分析和额外知识点的运用穿插，因此难度稍大.教师课上照搬这两道例题，对于学生熟练运用公式没有起到应有的作用.另外，很多教师都是在一个公式讲完之后就进行对应公式的例题和练习的训练，这种方法能使学生对各个公式巩固得都很到位.但当课后三个公式同时择用时，学生反而不会分析了.

（三）三个公式的同时记忆

教师在教学重点完成之后应该要求学生对这三个公式同时记忆，不然学生靠理解再推导时间上是不允许的.但是学生对三个公式同时记忆是非常困难的，尤其弧长公式和面积第一公式非常相似，学生容易混淆.即便学生课后通过大量练习巩固了这三个公式，但当学过其他章节知识之后再回过头来做题，效果依然不佳.

三、问题解决

（一）合理安排教学时间进度

教学时间的安排：本节采用情境导入法，以回忆为主，外加板书，3分钟即可;三个探索活动中，探索弧长计算公式的时间为8分钟左右;面积第一公式的活动过程与弧长公式推导过程类似，可在5分钟之内解决;面积第二公式就是整合前面两个公式推导出来的，时间控制在3分钟左右即可;例题教学主要是熟悉公式，时间控制在10分钟之内即可;剩余时间应该用于练习、巩固公式，以达到熟练运用的效果.当然，如果老师仍然感觉时间很紧，且班级学生的学习层次较弱的话，那么可以将此课分两课时进行教学，在第二课时让学生通过大量的练习能够灵活运用公式.

本节课的问题情景可如下设置：（由多媒体展示图片）在一片空旷的草原上有一根柱子，柱子上面拴着一条长4米的绳子，绳子的另一头拴着一头牛.假设这头牛能沿着柱子轉动n°角，那么它可以吃草的最大活动区域面积是多少？学生分析出问题后，教师即可引出本堂课的主题：弧长及扇形面积.教师引导学生围绕图形讲出与圆相关的概念，包括圆心角、半径、圆心角所对的弧，进而引入扇形的概念.然后，教师可让学生判断给出的图形中哪些是扇形，从而加深学生对扇形概念的理解.在此基础上，教师开始引导学生探究弧长公式：

1.复习圆的周长公式：C=2πR;

2.引导学生将圆的周长看作360°圆心角所对的弧长;

3.假设圆的半径为R，那么：1°的圆心角所对弧长l=πR[]180，2°的圆心角所对弧长l=πR[]90，…，n°的圆心角所对的弧长l=nπR[]180;

4.通过探究，总结归纳出弧长公式.

此处探究运用了从部分到整体、从特殊到一般的归纳方法.

学生有了上述探究体验后，再开展扇形面积公式的推导活动就容易得多了.此处教师可要求学生以小组合作的方式进行推导探究，可参照推导弧长公式的方法进行.这样能加深学生对这部分内容的理解，也能培养他们的自主探究学习能力.

（二）设置例题与练习题时减少对单一公式的训练

教师在设置例题与练习题时，要适当减少对单一公式的训练，也就是说不要在一个公式推导出来后就开展较多的训练，应该增加三个公式都推导出来之后的混合训练题的数量.教师先让学生训练纯文字的题，等学生能熟练运用公式之后，再训练带图的几何题，如例1，例2.这样能有效利用课堂上的45分钟，让学生通过必要的练习达到巩固、内化知识的目的.

（三）对公式2，3的取舍

公式2和公式3都是计算面积的，使用一个就可以了.那使用哪一个呢？公式2与弧长公式非常像，容易混淆，且没有公式3简洁，因此笔者认为应该选择公式3.下面我们来看几道题：

1.圆心角为40°，半径为6的扇形面积是多少？

2.已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π，求这个扇形的面积.

3.弧长为2π，面积为4π的扇形的半径和圆心角分别是多少？

对于题1，已知n，R的值，先代入公式1求出l的值，然后把l，R的值代入公式3即可求出扇形面积.对于题2，已知n，l的值，先代入公式1求出R的值，再把l，R的值代入公式3即可求出扇形面积.对于题3，已知l，S的值，很明显应该先代入公式3求出R的值，再把R，l的值代入公式1即可求出n的值.

四、教学反思

本节课是按照“先学后教、当堂达标”以及学案的形式开展的一堂几何教学课，根据教学实践，笔者认为教学目标的定位比较准确、合理，且教学目标达成度较高.教学过程围绕“六化”模式顺利推进：

1.问题化：教师通过创设合理的问题情景，引导学生思考.问题情景的创设围绕着学生的生活实际以及心理特征，并未直接运用教材上的例子，而是设计了牛吃草探索其活动区域的问题，有效地调动了学生学习的积极性.学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动的过程中，获得了更多的数学活动经验，有利于自身学习素养的形成.

2.探究化：本节课改变了传统课堂教学中教师讲、学生被动听，师生之间一问一答的教学模式，采用了学生自学或小组合作学习的方式让学生经历新知识的形成过程，并参与到弧长及扇形面积公式的推导过程中，使学生对知识有更深入的理解.学生在完成学案的问题后，自己的思维也会有所改变，这正符合新课改所提倡的“充分发挥学生主体作用”的教育理念.

3.应用化：在自主探究获得结论后，学生通过练习题使新知识得到巩固，并训练了解决问题的能力.比如，练习题是对公式的直接运用，可由学生独立解决，再由同桌相互订正，最后选取一名学生到讲台前讲解解题思路，教师加以点评即可.这样做是为了让学生在利用公式解题的过程中了解“知二求一”的数学思想，并学会思考问题的方法，包括识别问题类型与问题的联想及转化.同时，教师应设计一些与实际相关的问题，并引导学生解决，让学生明白数学与我们日常生活密切相关，公式的应用并非只是单纯的计算数据，而要真正学以致用.

4.整合化：教师要让学生反思知识的思维与方法，从而实现三维目标.教师可以要求学生从思想方法、学习方法、知识层面等三个维度去对本节课的内容做一个自我小结，教师给予适当的补充和完善即可.

5.有效化：本节围绕新课标的要求，笔者还设计了关于“弧长及扇形面积公式”的相关应用习题，包括填空题、判断题、应用题等，均为比较简单的题目，可在课堂上运用几分钟时间完成，不会耽误过多的教学时间，而且能直接检测学生的学习情况.结果显示，效果很好，基本达到了课堂高效化教学.

6.动态化：这一部分内容主要是针对教学内容的拓展，选取了部分中考试题作为习题，方便学有余力的学生对知识的巩固和提升.

综上所述，“弧长及扇形面积”作为初三几何课的重要内容之一，也是学生今后继续学习几何的基础.针对这一教学重难点，我们数学教师应围绕教学目标以及班上学生的学情精心优化教学方案，采用多元化的教学手段为学生创设更生动、有趣的学习情境，使其在自主探究、亲自参与的过程中去感悟相关公式的推導、形成过程，从而加深对这部分内容的理解.

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