感受数学符号特质 发展学生符号意识

郭新克

摘要：符号意识是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十个核心概念之一，主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和进行数学思考的重要形式。符号意识是学生在感知、认识、运用数学符号方面做出的主动性反应。教学中，要结合教学内容和生活实际，唤醒学生的生活经验，体验符号应用的广泛性，感受数学符号的简洁性和表达的多样性，探索符号推理的一般性，不断发展数学符号意识，提升数学核心素养。

关键词：数学符号;符号特质;符号意识

符号意识是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十个核心概念之一，主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性;建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。符号意识是学生在感知、认识、运用数学符号方面所做出的一种主动性反应，它是一种积极的心理倾向。数学符号具有广泛性、简洁性、多样性和一般性等特质。在教学中，教师应结合教学内容，让学生充分感受数学符号的特质，引导学生自觉运用数学符号进行数学表达，体验数学符号的价值与魅力，发展学生的符号意识。

一、唤醒生活经验，体验符号应用的广泛性

语言学家皮埃尔·吉罗说：“我们生活在符号之间。”学生在日常生活与学习过程中已经认识了很多不同类型的符号，并积累了丰富的符号使用经验。如现实生活中，医院的红“+”字标记、“SOS”国际求救信号、“119”火警电话、公路上的各种交通标志、酒店的逃生标志，等等。各种符号与我们的生活紧密联系，从某种意义上说，我们已经进入了一个高度符号化的时代，丰富的生活经验也让学生对符号使用的广泛性有了体验。如一看到“KFC”的商标，就能想到是肯德基;一看到“WC”，就知道是卫生间的标志;一进入电梯，就能找到自己所要到达楼层的按钮……

符号既是数学语言，又是数学工具，理解并学会使用各种数学符号是数学教学的重要目标，也是发展学生符号意识的重要途径。学生在入学前已经有了初步的符号化经验积累，如知道用“1”可以表示一个人、一只小狗或一支笔等，能初步把握事物有关数量的本质，能把一些简单化的问题用数字符号表达出来。在教学时，我们要唤醒学生已有的知识经验，引导他们体验符号在数学学习中的广泛用途。

在教学人教版《义务教育教科书·数学》一年级上册“1～5的认识”时，主题图是一个农家小院，里面包含有1～5的各种数量，而且每种数量的事物不止一种。教学时，每种数量可以多数出几种，在认识4和5时，可以先让学生数出主题图中的小鸡有4只，南瓜有5个。（如图1）

然后，可以利用图形的一般性来表示数量的多少，如用小棒一一对应表示，也可以用下面的对应方法：

○○○○     → 4

○○○○○   → 5

最后，要对小圆的数量进行命名。命名的方法可以是不同的，如用汉语分别称为“四”和“五”，英语则称为“four”和“five”。但是，用数字符号“4”和“5”表示，却实现了数学表达的统一，这就体现了符号表达的功能。这样的学习过程，能唤醒学生的生活经验，使他们体验到符号使用的广泛性和重要性，符合学生的认知规律。

二、用符号表示数，感受数学符号的简洁性

发展学生符号意识的过程，也是培养学生数学抽象能力的一个重要过程。在这过程中，需要舍去事物的物理属性，去掉具体内容，而利用符号和关系术语进行数学表达。在教学过程中，教師要引导学生经历文字语言、图形语言和符号语言的对比与转化过程，感受数学符号表达和思考的简洁性与简单美。

在教学人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册第二单元“确定位置”时，可以让学生小组合作，用自己的语言描述各自在班级里的位置。这时候，学生的答案是不一样的：有的说是第几组第几个;有的说是第几个第几排;有的说是第几行第几组;有的甚至还会说从门口方向数第几列第几个……教师要及时引导学生观察总结，不管用什么方法描述，其实都用了两个数字来确定各自在班级中的位置。再适时引出列与行的概念，使学生感受到数对（a，b）的产生过程。通过学生的自主探究，他们经历了观察、比较、交流、总结等学习过程，在比较中感受了应用数字符号表示位置的简洁性，这样有助于形成使用数学符号表达数量关系的自觉性。

学生在解决数量关系稍复杂一些的实际问题时，对数量关系的理解可能会存在困难。这时，借助图形符号——线段图的帮助，可以让数量关系简洁明了。如学生问教师的年龄时，教师说：“当我是你这么大时，你才3岁，当你到我这么大时，我已经39岁了。请问老师今年多少岁？”对于没经过此类问题专门训练的学生来说，理解年龄问题中抽象的数量关系确实存在一定的难度。但是，通过线段图的帮助，如图2，学生很容易能看出：师生的年龄差×3+3=39岁，复杂的数量关系通过不同数学符号的切换表达变得简单易懂，既充分体现了数学符号在解决实际问题中的优越性，又能促使学生自觉地运用数学符号去解决实际问题。

三、自主合作探究，体验符号表达的多样性

符号是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等构成了数学的符号系统。严格意义上来说，汉字是从象形文字演化过来的，也是一种符号表达。东北师范大学史宁中教授指出：“无论在哪个学段，都应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化规律，这是发展学生符号感的决定性因素。”因为每个学生积累的数学符号经验是不一样的，因此他们经常用自己独特的、富有个性化的符号表示具体情境中的数量关系和变化规律。如在“乘法分配律”的教学中，我让学生用自己喜欢的符号把乘法分配律表示出来。学生中很多有创意、个性化的方法就展现了出来。

生：（5+4）×3=5×3+4×3。

生：（甲数+乙数）×丙数=甲数×乙数+甲数×丙数。

生：△×（□+○）=△×□+△×○。

生：（a+b）×c=a×b+a×c。

在小组合作交流的过程中，学生充分感受到了符号表达的多样性，唤醒了潜藏的符号意识，激发了符号创作的潜力和欲望。

当然，创造出有个性化的数学符号对于小学生来说还是有难度的，而且很多数学符号经过历史演变，已经具有了其特定的含义。如“+、-、×、÷”分别表示特定的运算意义，“=、≈、<、>”则表示数学对象之间的某种关系等。我们在教学过程中要让学生多了解一些数学符号的演变过程，在对学生进行数学史教育的同时保护和鼓励他们符号创造的积极性，引导学生进一步理解符號的明确性和规定性。

四、探索变化规律，了解符号推理的一般性

当学生初步掌握了利用符号和关系术语来表达已经简约化的事物之后，就要引导学生能从具体的数学情境中抽象出简单的数量关系和变化规律，并用符号表达出来。要引导学生通过假设和推理建立数学模型，在一般意义上描述一类事物的特征或规律，进而凸显符号推理的一般性。

在教学人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册第62页第13题时，可以先让学生分组合作，用学具摆一摆，用笔画一画，再让学生利用交互式电子白板的几何画板功能和复制、拖拽等功能，在白板上把各小组的探究结果进行交流汇报。

在探索过程中，要让学生初步体会建立数学模型的过程，即从具体到抽象，从特殊到一般，逐步揭示小棒的根数与摆成图形的内在联系，最终引导学生用含有字母的代数式3n+1表示“摆n个正方形需要3n+1根小棒”的变化规律，从而把学生的思维和推理提高到一个更高的层次。同时，要引导学生利用抽象出来的规律解决摆21个正方形（当n=21时）需要的小棒数量，也可以适当拓展，引导学生利用规律解决用76根小棒能摆出多少个正方形的问题。在探索变化规律的过程中，要帮助学生积累从特殊到一般寻找规律的数学经验，找到探索规律的方法，体会探索规律过程中的深度体验。要引导学生把握问题的共性，体验符号推理的一般性，鼓励学生用数学符号语言正确地表达其所发现的规律。

符号意识更多地表现为以学生为主体的一种主动使用符号的想法，其发展仅靠单纯的训练和模仿难以达到应有的效果。教学中要结合教学内容，让学生在感受数学符号特质的同时形成积极的情感体验，把使用数学符号内化为学习过程中的自觉行为，在不断积累数学活动的经验中发展符号意识。

参考文献：

[1]郑毓信.“数感”“符号感”与其他—课程标准大家谈[J].数学教育学报，2002.

[2]史宁中.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2017.

[4]吉姆·奈特.高效教学：框架、策略与实践[M].上海：华东师范大学出版社，2017.

（责任编辑：杨强）