多面体的外接球问题探究

金小保

多面体的外接球的定义是：若一个多面体的各个顶点都在同一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球叫做这个多面体的外接球。另外，球的任何一个截面圆的圆心和球心的连线垂直于这个截面。

多面体的外接球是历年高考常考的题型之一，纵观这几年的高考题，几乎每年都涉及与球有关的问题，是高考热点之一，而且以小题考查为主。由于多面体的外接球是空间几何体的组合问题，需要学生具有较强的空间想象能力和计算能力，才能顺利得以解决。但从这么多年的实际教学过程中，学生对这类问题掌握的比较薄弱，认识比较模糊，空间概念不强，不能准确地找到多面体外接球的球心，拿到这类问题不知怎么解决，当然这类问题确实有点难度，但是只要掌握了一些基本方法，想必解决起来就不那么困难了。下面把我这么多年在教学实践中关于这类问题的解决方案做一些总结和探讨，方便教师和学生更好的把握多面体外接球的各类问题解决方案。

1.正方体、长方体的外接球

设长方体的棱长为其体对角线长为.由于长方体的中心即体对角线的中点即为外接球的球心，故球的半径特别的，当a=b=c时，即为正方体。

2.正四面体的外接球（正方体模型）

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，四面体A-B1CD1即为正四面体，它的外接球即为这个正方体的外接球，所以只要补形成一个正方体即可，这个正方体外接球的球心就是这个正四面体外接球的球心。

3.三组对棱分别相等的三棱锥（长方体模型）

对于这种情况，只要补形成一个长方体即可，此三棱锥的各棱分别是长方体的面对角线。

例1.在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为__________.

解析：如图，在长方体AEBF-A1CB1D中，三棱锥符合题意，此长方体的外接球就是这个三棱锥的外接球，设AE=a，AF=b   AA1 =c，则，∴，

∴2R= ，∴，故三棱锥外接球的表面积为。

4.三条侧棱互相垂直的三棱锥（长方体模型）

例2.在正三棱锥中，分别是棱的中點，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是        。

解析：三棱锥为正棱锥，

对棱互相垂直，

，N分别是棱SC，BC的中点，

，

又而，AM、平面SAC，

平面SAC，即平面SAC，

，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，

，，

三棱锥外接球的表面积为.

5.直棱柱的外接球

直棱柱的外接球的球心在其上下两个底面多边形外心连线的中点。以直三棱锥为例，设高为，如图2，D、D1分别是的外心，O是DD1的中点，因为DA=DB=DC=D1A1=D1B1=D1C1=r（r为的外接圆半径），所以OA1D1、OB1D1、OC1D1都全等，所以OA=OB=OC=OA1=OB1=OC1=R（R为外接球的半径），于是借助直角三角形的勾股定理，可求。

6.一条侧棱垂直于底面的棱锥的外接球

如下图，只要补形成相应的直棱柱即可，此棱锥的外接球就是补形后的直棱柱的外接球。

例4. 正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD折叠，使点B与点C间的距离为，则四面体ABCD外接球的表面积为

A. B. C. D.

解析：根据题意可知四面体ABCD的三条侧棱、，

底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，

求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，

三棱柱中，底面，，，，

的外接圆的半径为，

由题意可得：球心到底面的距离为，

球的半径为

外接球的表面积为：，

7..一般多面体的外接球

对于一般的多面体的外接球，可以利用“球的任何一个截面圆的圆心和球心的连线垂直于这个截面”这个性质来找球心的位置。

通过以上这些模型，我们就能很轻松的求解出关于多面体外接球的相关问题，当然与求相关的立体几何问题有很多，这里主要介绍了常见的几种类型，只要平时在学习过程多注意总结，多面体和球自身的几何性质，想必解决这类问题就不成问题了。