传统应用题教学之当代重建（上）

【摘 要】传统应用题教学之当代重建并非是相关传统的简单回归，而是如何能夠依据数学教育目标的现代认识对此做出认真的总结与反思，并能通过新的研究做出进一步的发展。研究者以“努力提升学生的核心素养”作为分析的基本立足点，主张数学教育的主要任务是促进学生思维的发展，特别是帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能由“理性思维”逐步走向“理性精神”，从而真正成为一个具有高度自觉性的理性人。

【关键词】应用题教学;理性精神;数学教育;当代重建

【作者简介】郑毓信，南京大学哲学系教授、博士生导师，国际数学教育大会（ICME-10）程序委员会委员，美国《数学评论》杂志评论员，长期从事数学哲学、科学哲学、数学教育与科学教育的专门研究。

为什么要提及“传统应用题教学之当代重建”？难道不是基于这方面的一个事实，即传统应用题因为有诸多弊病自新一轮课程改革以来已为“问题解决”（或“解决问题”，下同）所完全取代了？

相对于简单接受这一事实而言，笔者认为，我们应当更深入地思考两个问题：（1）尽管应用题教学确有不少弊端，但其作为中国数学教育教学传统的组成成分是否也有一定的合理性，又是否可以被看成已由当前的“问题解决”教学得到了很好地继承？（2）数学教育为什么应当特别重视“问题解决”，其是否也有一定的局限性？进而，以下的事实也可被看成进一步凸显了深入思考上述问题的重要性：传统应用题教学有不少内容，包括基本体系已在“奥数训练”“一日一练”等名目下得到了沿用。但是，由于缺乏认真的总结与深入研究，传统应用题教学的弊病也在新的形式下得到了延续，甚至有所加重。

为了对上述问题做出解答，我们应首先弄清分析的基本立场，也即我们应当按照什么标准对传统应用题教学与“问题解决”教学各自的优缺点做出分析。由于这两者都应被看成实现数学教育目标的具体手段或途径，因此在笔者看来，我们应依据数学教育的基本目标对此做出具体分析，包括很好地理解“传统应用题教学之当代重建”这样一个含义：我们所希望的并非是相关传统应用题教学的简单回归，而是希望如何能够依据数学教育目标的现代认识对此做出认真的总结与反思，并能通过新的研究做出进一步的发展。

在此，还应特别提及这样一个论点：“数学应用题的本质是数学建模”[1]。因为这集中反映了新一轮数学课程改革，特别是受《义务教育数学课程标准（2011年版）》的影响，也即对“模型思想”的突出与强调。与此相对照，笔者认为，尽管应用题的求解在一定程度上确可被看成属于“数学建模”的范围，其相关学习也可为学生“日后进一步学习‘数学建模做好必要的准备”。但我们应更深入地思考：究竟什么是应用题教学的主要作用。我们应依据数学教育的基本目标对此做出具体的分析。

以下就是这方面的一个具体工作，希望能够引起广大读者的重视与思考，并能积极地参与到传统应用题教学的当代重建之中，从而能通过共同努力很好地完成这个任务。

一、研究的基本立场

我们将以“努力提升学生的核心素养”作为分析的基本立足点，认为数学教育的主要任务是促进学生思维的发展，特别是帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能由“理性思维”逐步走向“理性精神”，从而真正成为一个具有高度自觉性的理性人。我们还应正确处理数学教育“三维目标”之间的辩证关系。思维的发展相比于其他两个目标更加重要，我们应当以此带动、促进学生关于数学基础知识与基本技能的学习，以及相关情感、态度与价值观的培养[2]。

正因如此，这就成为我们判断一项具体活动（不仅是指“问题解决”和应用题求解，也包括“数学游戏”“数学绘本”“数学折纸”等广义的“数学活动”）是否适合数学教育的主要标准：是否有益于学生思维的发展。我们应从这一角度进一步分析相关活动究竟有哪些优点与不足之处，又应如何对此做出必要的改进和发展，等等。

以下首先按照这个标准对“问题解决”对于数学教育的适合性做出简要分析。

“问题解决”是国际数学教育界在20世纪80年代的主要口号，其基本指导思想是“学数学，做数学”，突出了实际参与数学活动对于数学学习的重要性，并认为学生只需通过实际参与各种数学活动就可学会数学。但是，学生是否真的只需通过实际参与各种数学活动，特别是通过“解决问题”的实践就可学会数学，包括初步学会数学思维？

笔者的看法是，尽管“学数学，做数学”的认识具有广泛影响，但这又恰是“问题解决”数学教育改革运动给予我们的重要启示或教训：我们不应认为学生只需实际参与各种数学活动就可学会数学。因为，数学特别是数学思维的学习，并不能被归结为经验的简单积累，而是主要依靠主体的反思与教师的必要指导。而且，如果缺乏自觉性，即使是“问题解决”的简单实践也可能出现各种各样的弊病。

例如，以下就是美国数学教育界以前经常可以看到的一个现象，并因此引发了专业人士特别是数学家的严厉批判，甚至在一定程度上引发了所谓的“数学战争”：教学中的学生（甚至包括教师）往往满足于用某种方法（特别是观察、实验和猜测）求得问题的解答，却没有认识到还应做进一步的思考和研究，甚至都未能对所获得结果的正确性（完整性）做出必要的检验或证明[3]。

更进一步，我们应清楚地看到在人们的解题行为与内在思维活动之间的重要联系，特别是只有围绕以下一些问题进行认真地思考，相应的解题行为才能被看成真正的数学活动。而这事实上也已由单纯的“问题解决”过渡到了“数学思维”，即我们应当如何从事解题活动，特别是使用怎样的解题方法;我们又应当如何对所得的结论做出必要的论证，包括对结论与相关方法等做出的推广与优化……总之，人们的解题行为完全离不开内在的思维活动，故应被看成数学思维的具体体现与直接应用。当然，就学生而言，这主要又是一个后天的学习过程，更离不开教师的直接指导，而后者所发挥的则主要是“数学文化”的传承作用。

由此可见，即使是在今天，我们仍然应当十分重视防止与纠正对于“问题解决”的简单化理解，特别是认为学生只需通过实际参与各种数学活动就可学会数学，乃至将学生的数学发展归结为基本活动经验的简单积累。恰恰相反，我们应当按照“努力促进学生思维的发展”这一目标对此做出进一步的分析与研究，包括更深入地认识数学学习活动的本质，特别是实际活动与反思之间的关系。

那么，我们究竟应如何看待传统应用题教学？除了“是否可以用‘问题解决完全取代”这样一个论题，人们还经常提及的一个疑虑是：由于算术应用题的学习并不容易，其中有些问题更具有很大难度，但随着方程（代数）方法的引入，这些问题的求解往往变得十分容易，只需按照一定的程序或方法就可顺利解决。因此，我们似乎完全没有必要花费如此多的时间和精力从事算术应用题的专门教学和学习，而应尽快离开“四则难题”引进代数方法。

不难看出，后一论点主要是从单纯的“解决问题”，即如何能够求得问题的具体解答这一角度进行分析的。但这是否就是应用题教学的主要作用？笔者的看法是：这里的关键，事实上并不在于我们究竟应当采用“应用题”还是“问题解决”这样一个名称，也不在于我们是否应当尽快离开“四则难题”去引进代数方法，而在于应当更好地弄清相关内容的教学对于数学教育基本目標的实现，即有效促进学生的思维发展究竟有什么作用。这也正是“传统应用题教学之当代重建”的主要方向。

笔者认为，应用题教学应当对促进学生的思维发展发挥重要的作用。也正因如此，简单否定或完全取代的立场并不可取，恰恰相反，我们应明确提出“传统应用题教学之当代重建”的任务，从而不仅可以对促进我国数学教育事业的深入发展起重要作用，也可以使之成为中国数学教育的一个重要特色和亮点。

在此，我们还可对“数学应用题的本质是数学建模”这一说法做出如下简要分析。事实上，我们并不应将帮助学生很好掌握“模型的思想”，包括“为日后进一步学习‘数学建模做好必要的准备”看成应用题教学的主要目标，因为“数学建模”主要关注的只是模型的有效性，即我们如何能够针对“一个个复杂的具体情境，建立一个个特定的专用数学模型，并用模型来解决非常具体的问题”。也正因如此，相关工作往往就以“（模型的）检验和改进”作为解题工作的最后步骤。但是，如果主要着眼于促进学生思维的发展，应用题的教学显然就不应集中于如何能够有效地解决问题，而应更加关注我们如何能够通过解决问题的具体实践帮助学生在思维方法的学习以及思维品质的提升上有更大的收获，从而自然应当以“反思”（或者说，“再认识”）作为相关学习活动的最后步骤。总之，如果以“数学建模”的思想去指导应用题教学，就必然会极大地削弱学生思维发展的功能。

我们还将从同一立场对应当如何从事应用题教学做更加具体的分析，从而为“传统应用题教学之当代重建”指明努力的方向。这也十分有益于我们防止与纠正现实中看到的种种“回潮”现象，即如以“奥数训练”等名目加以包装的机械教学和机械学习。

二、从“问题分类”到“联系的观点”

特别强调问题的分类与基本题型的学习是传统应用题教学的一个重要特征。然而，正是在这方面我们又看到如下的弊病，即题型区分过多、过细，分类时又往往过分强调问题的事实性内容……更一般地说，就如以下分析所指出的那样：“小学数学教学中，应用题教学作为培养学生解决问题能力的重要载体，积累了丰富的经验……然而，在几十年的演变过程中，应用题教学的理念与价值不断转变，逐渐形成了一套固定的思考模式和解题模式。以至于将应用题的类型机械地归结为11种，解题模式由一步应用题到两步应用题（复合应用题）再到典型应用题，形成了一种‘程式化的解题套路……使应用题的教学陷入困境，学生的问题解决能力没有得到切实的培养。”[4]4-7

对于机械的、程式化的教学，我们当然应持批判的态度，但又是否因此否定“问题的适当分类与辨识”的重要性？

事实上，即使就日常的认识活动而言，问题的适当分类与辨识也具有特别的重要性，因为这直接关系到我们如何能够有效地应用已有的知识和技能，包括经由长期实践获得的经验去解决新的问题，而不是每次都要“从头开始”，耗费大量的时间和精力。再者，这也是人类认识活动的一个重要特征，即特别善于按照“由特殊到一般、再由一般到特殊”规律，从事认识活动。正如著名数学家、“问题解决”现代研究的主要奠基者波利亚所指出的：“对于一个特例所以要进行这样周密的描述，其目的就是为了从中提出一般的方法或模式，这种模式，在以后类似的情况下，对于读者求解问题，可以起指引作用。”[5]

应当强调的是，上述分析直接关系到数学的本质：数学可以定义为“模式的科学”，因为数学并非是对真实事物或现象量性属性的直接研究，而是以抽象思维的产物，即所谓的“模式”作为直接的研究对象，其所反映的则是一类事物或现象在量的方面的共同特性[6]。显然，从这一角度我们也可以更好地理解“问题的适当分类与辨识”的重要性，因为在此无非是将“模式”这一概念推广应用到“问题”之上。特别是，我们必须要超出相关特例包括其现实意义，并从更广泛的角度去理解“基本题型”的意义。与此相对照，如果一个问题不具有所说的普遍意义，那么只能被看成所谓的“怪题”“偏题”，对此我们自然也就不应予以特别的重视。

以下就依据这一认识，对我们应当如何从事应用题教学，特别是“问题的适当分类与辨识”的教学提出一些具体建议。

第一，应用题教学必须“去情境”。就目前的论题而言，这是指尽管我们可以而且应当通过适当的例子，包括现实性问题引出相应的问题类型，但在教学中又应聚焦问题中数量关系的分析，而不应以相应的事实性内容作为区分题型的主要标准。

当然，上述分析并不应被理解成完全否认典型案例的作用。事实上，如果说由具体问题向相关题型的过渡意味着由特殊上升到了一般，那么借助案例进行分析则可以看成类比联想的直接应用，后者当然也具有普遍的方法论意义，并可被看成为相关抽象提供了直接的基础。在笔者看来，这也就是现代学习心理学研究特别强调“多元表征理论”，特别是典型案例在概念、理论等抽象物心理表征中有着重要地位的主要原因。

但作为问题的另一方面，我们又应清楚地看到超出事实性内容并集中于数量关系分析的重要性。为了清楚地说明问题，在此仍可联系“数学应用题的本质是数学建模”这样一个观点来进行分析，特别是“我们可以将一类情境中发生的问题给以特殊的名称。说到底，不是我们数学教学工作者进行这样的分类，而是客观世界本来就有这样的不同的情境。”[1]149相关作者特别提到的一些典型题型，例如行程问题、工程问题、价格问题、利息问题、利润问题、折扣问题等。在笔者看来，这又直接涉及了“应用数学”与“纯粹数学”（包括基础数学）之间的重要区别：由于“数学建模”主要属于“应用数学”的范围，因而不应被看成应用题的本质，或者说我们在教学中不应过分地强调应用题的“应用性质”。

显然，我们也可按照同一标准对教学中所提到的各种“问题类型”的恰当性做出判断，如我们是否应当将行程问题、工程问题等看成教学中应当特别强调的一些基本题型？另外，这也是我们在从事“数学广角”等内容（更一般地说，就是“问题解决”）的教学时应特别重视的一点，即不应停留于各个具体问题（如植树问题、搭配问题等）的求解，而应更加重视必要的抽象问题，也即由相关实例过渡到一般性的问题类型①。

第二，与数学概念的教学相类似，“举三反一”和“举一反三”也可被看成应用题教学特别重要的环节。前者是指我们应当通过多个实例的对照比较帮助学生很好地理解相关的抽象概念，顺利地提炼出相应的题型与解题方法，包括必要的“去情境”;后者则主要涉及问题模式的辨识与应用，包括充分发挥案例的作用。

当然，教学中我们不应将二者机械地对立起来，而应清楚地看到它们之间相辅相成的关系，应当将二者很好地结合起来：学习者若能“举一而反三”“问一而知十”这必定是其熟悉内在道理并能融会贯通的结果。然而“举一反三”是建立在“举三反一”之上的，只有经过深入的“三番考察”“十方探究”，总结出一种客观规律（即“举三反一”），才能在应用该规律时做到“举一反三”。”也正因此，数学教学需要“举三反一”，甚至有时需要“举十反一”，能够“举三反一”，孺子可教也[7]。

另外，从同一角度我们也可更好地理解“变式理论”，特别是“过程性变式”对应用题教学的指导作用：通过适当的变化（情境变化、问题变化、条件变化等）为学生顺利理解相关抽象概念并能有效应用相应的问题模式和解题模式解决新的问题提供必要的基础。“求变”正是为了“不变”，我们应当通过恰当的变化与对照比较突出其中的不变因素或本质。

在此，特别提及上海顾亚龙老师的“题组模块”研究，尤其是这样一个思想：“在设计题组时，教师要有意识地把相关的各种变化有层次地引入其中，形成题组模块。这种有层次的阶梯型有助于学生在变化的题组中寻找不变的规律，发现题目之间的本质联系，进而找到其中的通性解法。”[8]41“我们主张对学习内容进行结构化设计……借助‘在题型结构、解题方法或数学思想上基于同一数学模式的一组题构成的训练模块——题组模块，及其结构化呈现，促进学生先‘举三反一……再‘举一反三……促进学生有关联地学，最终指向对数学模式的感知、理解与建构。”[8]34

当然，正如前面所提及的，对于问题内在数量关系的分析应被看成所有这些活动的共同核心。我们应在这一层面上引导学生对不同实例，特别是典型案例做出对照比较，这也可被看成我们切实纠正应用题分类过多、过滥这一传统弊病提供了现实的可能性。

第三，“联系的观点”。这是从“联系的观点”进行分析的一个直接结论：应用题教学的真正重点并不在于基本题型的数量，如小学应用题的教学究竟应当强调11种还是12种基本类型，而是如何能够通过不同问题（题型）之间关系的分析帮助学生很好地建立整体性的认识，并能以此為基础，包括总结、反思和“再认识”很好地实现“化多为少”这样一个目标②。

例如，在学完了“和差问题”并进而学习“和倍问题”时，教师应引导学生将两者联系起来加以思考，特别是注意分析它们的共同点与不同点：都包含2个或2个以上的未知数，而解决问题的关键又都在于如何能够实现未知数由“多”向“一”的转变。也正因此，我们事实上就可将“和倍问题”看成“和差问题”的一个变式，并应积极鼓励学生通过自身努力发现相应的解题模式，包括进一步解决如下的问题：除“和倍问题”，“和差问题”还有哪些可能的变式？

再例如，尽管这或许可以被看成一个过高的要求，即我们如何能将“行程问题”“购物问题”“运输问题”等归结成单一题型，但教学中仍应注意引导学生对它们进行对照比较，从而清楚地认识这些问题的共同点，以此为基础顺利地求解各个类似的问题。具体地说，这些问题的共同点在于：它们都涉及“单位量”这样一个概念以及“单位数×单位数=总数”这样的数量关系。当然，教学中应注意引领学生针对具体情境对它们的含义做出具体解释。例如，“行程问题”有求速度和求总路程;“购物问题”有求单价和求总价;“运输问题”有求单车的运载量和求运输的总量……另外，我们也应注意分析各类问题的特殊之处。例如，面对“行程问题”，我们应特别重视相应的“行车方式”，即究竟是“相向而行”还是“同向而行”，等等。

总之，为了切实提高学生对“问题类型”的识别与应用能力，除了围绕题型本身进行分析，我们还应引导学生从更广泛的角度进行思考，特别是注意分析不同题型之间的联系与区别，包括新问题与基本题型的联系与区别。（待续）

参考文献：

[1] 唐彩斌.怎样教好数学：小学数学名家访谈录[M].北京：教育科学出版社，2013.

[2] 郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报，2016（3）：1-5.

[3] 郑毓信.关于“问题解决”的再思考[J].数学传播（台湾），1996（4）.

[4] 马云鹏，朱立明.从应用题到数量关系：小学数学问题解决能力培养的新思路[J].小学数学教师，2018（6）：4-7.

[5] 波利亚.数学的发现：第一卷[M].刘静麟，曹之江，邹清莲，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1980.

[6] 郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

[7] 张奠宙.张奠宙数学教育随想录集[M].上海：华东师范大学出版社，2013.

[8] 顾亚龙.题组模块：给数学课堂以生成的力量[J].小学数学教师，2019（1）：34-40.