“三维切割法”巧助三视图还原几何体

2020-10-21罗宇军

中小学课堂教学研究 2020年1期

【摘要】三视图是培养学生数学核心素养的重要载体，是高考命题的热点。通过三视图的学习，学生对于三视图有一定的认识，但由于空间想象力不足，导致如何根据三视图还原几何体成为学生学习的难点。研究者对此进行了深入研究，通过多媒体技术进行处理，将抽象的数学问题转变为具体的、直观的问题，帮助学生进行理解，激发学生学习的兴趣。

【关键词】信息技术;三视图;深度融合

【作者简介】罗宇军，中学高级教师。

【基金项目】广西教育科学“十三五”规划2019年度课题“信息技术与数学课堂深度融合的策略研究”（2019B144）

数学学科独有的形式化抽象特征，如精深的数学概念、烦琐的演算过程、复杂的数形关系和多变的几何位置关系等，往往由于教与学手段的限制而令人 “望而却步”。运用学科软件进行数学教学，能改变 “重形式定义，轻意象表征”的教学模式。数学教学从整合走向融合，需要建立图形图像、符号表达与数值处理间的多元表征联系，需要严谨、精确和形式化的数学活动过程描述，需要构建与数学研究相适应的、丰富的探索性认知环境[1]。

三视图是学生学习立体几何的基础，也是学生建立空间观念的开始。学生从初中开始接触三视图，到了高中阶段加以学习，其对于三视图已有一定的认识，但由于空间想象力不足，根据三视图还原几何体成为学生学习的难点。

一、问题的提出

（2014·全国Ⅰ卷，理12）如图1，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

A.62B.6C.42D.4

图1

这道题目是2014年高考理科数学全国Ⅰ卷选择题的第12题，难度不低。笔者在一次测试中发现，所教的高三年级其中一个班66人中只有7人做对，这一结果让笔者感到非常震惊，于是找了一些学生进行访谈，发现学生由于空间想象力不足，无法还原出原来的几何体。在实际教学中，笔者发现很多教师在讲授这部分知识的时候通常感到“力不从心”。因此，笔者对此进行了专题研究，结合信息技术的优势，利用玲珑画板的3D和“任意切割”功能，根据三视图的特点，总结出用“三维切割法”还原三视图。

二、实验过程

1.实验前测

笔者充分利用课堂派软件互动性功能进行了实验前测。课前呈现2014年高考理科数学全国Ⅰ卷选择题第12题，并给学生3分钟时间独立完成，然后利用手机进入课堂派平台进行提交。教师在课堂派平台上进行统计发现，35人的实验样本中只有3人答对，说明学生对该题的解题能力尚有欠缺。由此，笔者设置本节课的问题情境：三视图如何还原几何体？

2.教学过程

根据三视图的定义，三视图的形成主要是由三束不同方向的光照射形成的。笔者制作了如图2～4的动画图形，展示三視图的形成过程。通过展示，学生不仅理解了三视图，而且也理解了为什么三视图是这样排列的。与此同时也带给我们解决问题的灵感：三个维度的面围成一个长方体（或者正方体），是不是就可以以一个长方体（或者正方体）作为“基础几何体”，把“三个方向照射”类比为“三个方向切割”，即“三维切割法”还原三视图。

研究发现，既然三视图的形成主要是由三束不同方向的光照射形成的，要得到满足条件的几何体，必须是正视图、侧视图、俯视图全部满足才可以，下文以问题1为例进行说明。

问题1：如图5，是某几何体的三视图，该几何体直观图的最大面是什么形状？

步骤一：构造基础几何体（如图6），然后利用玲珑画板按照图7的位置进行切割（正面切割），得到几何体（如图8-a）。此时，可以使用系统的“三视图”功能进行验证，发现其中的正视图和原来的吻合（如图8-b）。

步骤二：在步骤一得到的几何体（如图9）基础上，再按照图10的位置进行切割（侧面切割），得到几何体（如图11-a）。此时，可以使用系统的“三视图”功能进行验证，发现其中的正视图与侧视图和原来的都吻合（如图11-b）。

步骤三：在步骤二得到的几何体（如图12）基础上，再按照图13的位置进行切割（俯面切割），得到几何体（如图14-a）。此时，可以使用系统的“三视图”功能进行验证，发现其中的正视图、侧视图、俯视图和原来的全部吻合（如图14-b）。由此可知，所探求的几何体就是图14-b中的透视图，从而轻松解决三视图还原几何体的问题。

虽然利用信息技术与数学教学的深度融合，比较轻松地解决了三视图还原几何体的问题，也清晰地展示了还原的全过程，但是，在学生没有电脑的前提下如何进行教学呢？通过课题组的讨论与探索，笔者发现可以让学生通过用铅笔画图，然后用橡皮擦实现模拟“三维切割法”完成上述过程。在教学过程中可以以教师一边演示，学生一边用橡皮擦模拟切割的方式进行教学，教师巡堂进行个别指导。随后由学生进行小组合作探究以下问题。

问题2：如图15，是某几何体的三视图，且该几何体的体积是3，则正视图中x的值是（）

A.2B.92C.32D.3

学生利用手机通过课堂派软件提交答案。发现学生通过用橡皮擦模拟切割的方法可以轻松地解决这个问题。然后教师通过玲珑画板帮助学生进行验证（如图16～17），还可以通过课堂派软件反馈的信息，提问学习有困难的学生。

3.实验后测

由学生独立解决本文开始提出的问题，发现少数学生在“第二维切割”时存在困难（由于正视图三角形中间有一条线，直接切割并不能得到所需正视图）。此时教师可以引导学生进行思考：能否打乱顺序进行切割，即能否先切割出俯视图。最后，教师进行实验加以验证（如图18～20），发现同样能够还原几何体。

此时学生虽然知道了几何体的形状，但是其中的线面与基础几何体之间的关联并不是很清楚，这时，教师可以通过系统的“几何体恢复”功能，进行下面的操作。

步骤四：先把所得到的几何体更换颜色（主要目的是要区别于切割出来的其他几何体）（如图21），然后利用玲珑画板的“平移复原”功能，得到原来的基础几何体（如图22）。和之前不一样的是，三视图还原出来的几何体与基础几何体的关系已经非常清楚地反映在图形中，此时问题就可以迎刃而解了。

三、实验结果分析

对于本文开始提出的问题，笔者用课堂派软件统计了35名学生实验前和实验后的答题情况，统计结果如图23。

根据数据表明，实验前和实验后，学生答题的正确率差异还是比较明显的，充分说明了通过实验，大多数学生都掌握了运用“三维切割法”还原三视图的方法。

统计结果见表1。

由此看出，“三维切割法”能够显著提升学生三视图还原几何体的能力。