解题教学需要捅破那层窗户纸

摘要：如何让学生在解题中思维更开阔缜密，解题更高效，需要我们在平时的课堂教学中注重学生思维品质的培养，引导学生加强对各知识点和模型的联系。本文以初中数学课堂教学为研究切入点，引导学生理解性质定理的联系，以课本中的例题、课后练习题为例，对解题教學中提高学生发散学生思维、加强知识点之间整合进行了详细的研究和分析。

关键词：初中数学;窗户纸;联系;发散思维

数学问题是基于数学概念、知识、方法和思想等方面的一种整合与创新。解题过程中学生需自觉的分析题目中的条件和特征，有效的捕捉题目中的重要信息，多角度、深层次、全方位地探索解题思路，在联想、反思、比较、选择中寻找解题策略。笔者结合初三教学过程中的具体实践，以浙教版教科书为例谈谈在概念、定理或推论、课本例题、课后练习题及几何与函数中如何捅破那层窗户纸，引导学生加强对各个知识点的联系，以达到融会贯通，方便解题的目的，谈谈自己的心得体会，聊以抛砖引玉，愿与广大同仁探讨。

一、捅破概念的那层窗户纸

九年级上册，我们学习《圆的基本性质》中指出“在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆”。勿容置疑，大部分学生对于这个概念是没有问题的，但是，当点P不是旋转一周，而是几个跳动的点的时候，就很少有同学能想到圆了。例题呈现：

如图1所示，四边形ABCD中，DC//AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为（      ）

思维对比：此题如果用常规思维来解，过A作BD、BC的垂线短，构造全等三角形来做，解法比较繁琐。而如果能看到圆，补充圆，则该题就变成了一道口算题了。笔者在班级中粗略的看了一下，发现用圆来解决的同学占比三成左右。

反思：对于学生来讲，看到圆去解圆，比较容易，但是要学生逆向思维圆的确有点困难。这应该缘于自己在圆概念教学当中的欠透。当以条线段绕它固定端点旋转一定角度，也是圆的一部分（扇形）;当一条线段的一个端点绕另外一个固定端点跳动的时候也得到圆的一部分（点圆）;当平面内几个点到一个固定点的距离都相等的时候也得到圆的一部分，不管哪种情况得到的模型它们都应该具有圆的性质。如果能把圆概念的这层窗户纸让学生捅破，我相信遇到类似题目想到用圆来解决的人会越来越多。

二、捅破推论的那层窗户纸

九年级上册，我们学习《圆的基本性质》得到圆周角定理的一个推论“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”。

如图2就是“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”的课本图示。让学生去分析这个图形可引导学生得到以下几点心得：其一，这其实给了我们提供了一个用尺规作直角的方法;其二，如果连接CO，那么“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，就如此理所当然;其三，如果点C在圆周上运动，使得∠B=30?，那么“30?角所对直角边等于斜边的一半”、圆周角定理又完美的结合在一起;其四，如果延长CO与圆相交，得到矩形，那么矩形的性质和判定，在这个图形中是如此的和谐！学生回顾或解惑以前学过的知识的同时，又进一步切身感受数学定理的严谨性和逻辑的严密性，更能拓展了自己的发散性思维，这层纸要捅破！

三、捅破例题的那层窗户纸

九年级上册，我们学习《圆的基本性质》3.5《圆周角》这一节例题3，题目如下：

如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在的圆的圆周角∠C=50?.问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？

当船在灯塔线AB以上海域航行，会不会进入暗礁区域，显然以此弓形上的优弧为界。那么，假如要使船在此优弧上航行，要满足什么条件呢？根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，则必须保持∠S=50?。至此，由定线段（灯塔AB）和定角构成的“定弦定角得定圆”的隐圆模型跃然而出。

近年来各地中考卷中隐圆问题时有出现，有动点并且涉及到轨迹问题，学生处理起来比较困难。如能捅破这个例题“定弦定角得定圆”的窗户纸，我相信对学生感知模型的意义、体验模型建立并最终解决此类问题会有很大的帮助。

四、捅破课后习题的那层窗户纸

4.1九年级上册，我们学习《相似三角形》4.4《两个三角形相似的判定》这一节课后习题，题目如下：

如图4，在?ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于点D，试写出图中的相似三角形。

不难发现，图中Rt?ABC、Rt?ACD、Rt?CBD三个彼此相似，那么同学们是否可以写出这些三角形对应边成比例的比例式呢？当学生写出AC2=AD·AB;BC2=BD·AB;CD2=AD·BD时，突然得到三个比例中项的体验和欣喜，无疑会加深学生对此模型（射影定理）的印象！

4.2课本同一页中的另一课后习题，题目如下：

已知：如图5，在☉O中，弦AB与CD交于点P，

（1）求证：?ADP∽?CBP.

（2）判断AP·BP=DP·CP是否成立，并给出证明.

证明和判断都很简单，我们需要让学生思考两个问题：其一，题中这些线段的特征;其二，这个结论是否具有普遍性，能否用自己的语言描述（相交弦定理）。

当图4的外接圆被补充，斜边上的高被倍长，如图6，对于CD2=AD·BD，学生会有欣喜若狂的发现，原来我们同出一辙！两个看似毫不相干的图形，在特定的条件下竟然互为印证，这就是数学的美、数学的严谨！

五、捅破几何与函数的那层窗户纸

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休”。数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透。例题呈现：

[2017宁波]如图7，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，国点E做EFBC，分别叫BD，CD于G，F两点。若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（    ）

该题在中数参2017年第10期《从信息萃取到多解生成》一文中浙江省象山港书院的周孝辉、王伟两位同仁用构造、面积等方法提供了6种几何解法，可谓用心良苦，笔者甚是认同。只是在我们平时的解题教学中，捅破几何函数间的那层窗户纸，不仅能为学生的思维拓开一个新的方向，更能在限时作业中收到更好的效果。

“有形缺数，调用函数;直角中立，或可建系”，数形结合思想是中学到高等数学解题中极其重要的解题方法。如果我们以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，这道题就可以口算得出结果。

六、结束语

课程标准中明确了解题要求，要使得学生能够灵活准确地掌握相应的数学知识，不断拓展知识之间的联系，使学生形成分析与求解问题的思路和方法，要发展学生的思维能力。教师在课堂教学过程中应更加注重引导学生对知识点的拓展和整合，培养学生的发散性思维，这必然对加强学生的解题能力有很大的帮助。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]周孝辉、王伟《从信息萃取到多解生成》中学数学教学参考，2017.10

作者简介：殷美乔（1978.12-）男，浙江绍兴人，本科，浙江上虞曹娥街道中塘学校教师，职称：中学一级，研究方向：初中数学教学。