课堂探究“应然而生”思维发展“自然而然”

李桃 沈玲丹

［摘  要］ 文章以“两角差的余弦公式”教学为例，尝试从知识联系性及方法统一性出发，从数学知识发生发展的合理性、学生思维过程的合理性两个角度构建学习过程，以问题引导学习，探索发展学生核心素养的路径.

［关键词］ 课堂探究；思维发展；余弦公式

著名的数学教育家斯托利亚指出：“数学教学是数学思维活动的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学.”因此，教师应注重在理解领会教材知识结构的基础上整合教材，遵循知识发生发展的过程及学生的认知水平、思维规律，设计系列教学活动，引导学生参与学习过程，习得知识的同时发展数学思维. 基于以上认识，笔者分析人教A版新教材（2019年版）“两角差的余弦公式”教学内容后进行了教学重构和实践.

[?]教学内容分析

由于和角、差角、倍角的三角函数之间存在着紧密的内在联系，人教A版新教材必修第一册（后面简称“新教材”）“5.5 三角恒等变换”一节内容的編排顺序为C→C→S→T→C，S，T［1］. 以两角差的余弦公式为基础，推导其他和（差）角公式，以和角公式推导倍角公式，一系列三角恒等变换公式形成了命题系［2］. 另外，两角和（差）公式是诱导公式的上位知识. 因此，教学两角差的余弦公式作为本节内容的起始课，具有承上启下的重要地位.

新教材为突出编写的整体立意，力图体现圆的对称性与三角函数之间的内在联系，选择利用旋转对称性证明两角差的余弦公式. 这样证明的好处是不需要利用图形本身的直观性质，即证明过程不受图形大小、位置变化的限制. 实则，旋转对称仅作为阅读材料，在人教版教材九年级上册的“阅读与思考”板块出现过，学生并没有积累运用该性质解决问题的经验. 显然，新教材上“连接AP，AP”，以及“把扇形OAP绕着点O旋转β角”，这两步操作都不是学生自主思考容易获得的. 如此探究公式，不仅不利于学生理解公式中角的任意性，还扼杀了学生的自主思维. 教师应该从学生实际出发，精心设计教学活动，让课堂探究“应然而生”.

[?]教学重构

1. 教学新设计

基于知识的上下位关系及方法统一性来设计本节课. 诱导公式与两角和（差）公式是特殊与一般的关系，学习本节课属于上位知识的学习. 那么，一方面，教师可引导学生以诱导公式的探究经验来探究两角差的余弦公式. 借助终边与单位圆的交点坐标表示三角函数值，由“数”到“形”；学生自主探究图形变化过程中的不变关系，将不变关系代数化，由“形”到“数”，得到公式. 进一步渗透数形结合思想，发展学生的直观想象素养. 另一方面，教师有必要引导学生关注两角差的余弦公式在探究过程中发现的不变关系在诱导公式推导中也成立，进一步让学生感受数学知识的内在联系及方法统一性.

2. 教学过程

（1）创设情境，提出问题

问题1：已知α为任意角，请化简以下式子.

①cos（α-π）=__________；

②cos

α-

=__________.

③cos

α-

=__________；

④cos

α-

=___________.

学生利用诱导公式能够化简①②两个式子，对于③④两个式子有着多种不确定的猜测. 教师引导学生认识：①运用诱导公式有特殊限制，有必要去探索任意两角差公式. ②诱导公式是任意两角差公式的一类特殊情况. 教师再提出本节课的中心问题：对于任意角α，β，cos（α-β）与α，β的三角函数值有什么联系？

（2）重温经验，搭建探究支点

问题2：请同学们回顾一下，我们是如何推导诱导公式的？

在学生回答的基础上，引导学生理解：借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式（α-π的三角函数值），其含有三个步骤：第一步，作图，以形助数，即将任意角α的终边旋转作出角α-π的终边，用终边与单位圆的交点坐标表示角α，α-π的三角函数值；第二步，直观分析图中与两角终边相关的不变关系，并用信息技术手段进行验证；第三步，将几何性质代数化，以数释形，即利用点的对称性建立等量关系.

通过重温诱导公式的推导步骤，类比得到探索两角差余弦公式的可能思路.（教师作图，并将步骤板书，便于学生进行类比学习）

（3）任务驱动，自主探究

任务1：记单位圆与x轴的正半轴相交于点A（1，0），请同学们以x轴非负半轴为始边任意作角α，β（先考虑两个角的终边不重合的情形，即α≠β+2kπ，k∈Z），记它们的终边与单位圆的交点分别为P，P，并作出相对应的角α-β的终边，记其终边与单位圆的交点为P.

即使学生忽视了角β终边的意义，也能够正确作出角α-β的终边. 教师要在此处指出内在逻辑：β的终边相同，却表示无数个角，β=2kπ+β，k∈Z，β∈［0，2π）.由α-β=α-β-2kπ，k∈Z，知角α-β的终边与角α-β的终边相同，因此只需要将角α的终边顺时针旋转角β就可以得到角α-β的终边.

任务2：结合图2中的3个角（角α，β，α-β）的始边、终边，请同学们找一找有哪些不变的等量关系.

生1：根据刚才的旋转过程，可以知道圆心角∠POP=∠POA.

生2：沿着生1的思路，还可以发现圆心角∠POP=∠POA.

生3：根据圆的性质，圆心角相等就有对应的弦长相等和弧长相等.

在学生回答的基础上，引导学生认识：圆中的等量关系的核心要素是圆心角相等.

追问1：对于任意角α，β，以上的等量关系（等角）是否始终成立？

活动1：学生在各自作图中进行验证.

活动2：教师引导学生去验证当β=π时的特殊情形是否也是成立的.

学生经过验证发现β=π也是成立的，教師引导学生理解：由于π终边的位置特殊，此时的等角关系也反映出了对称性.诱导公式的推导正是抓住了一般性中的特殊性来刻画三角函数值的联系.

活动3：教师借助信息技术验证“改变α，β的终边，等角关系依然成立”.

追问2：请同学们思考，如何利用等量关系建立三角函数值的联系？

生4：将三角函数值联系起来，关联角的终边与单位圆的交点，我们可以利用弦长相等或弧长相等建立联系.

生5：生4说得有道理，但是弧长的计算还是与圆心角相关，所以应该用弦长相等建立联系.

生6：但是弦长不会求呀.

任务3：已知弦长的计算公式，请同学们将以上分析的两组弦长的相等关系代数化.

学生展示运算的两种结果：

生7：根据PP=PA，由弦长计算公式整理得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

生8：根据PP=PA，由弦长计算公式整理得cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=cosβ.

由教师整理第二个等式，让学生感受不同视角下的不变关系揭示出的是一致关系. 令α-β=γ，那么第二个等式等价于cos（α-γ）=cosαcosγ+sinαsinγ.

追问3：刚才，我们考虑的是两个任意角的终边不重合的情形，那么当两个任意角的终边重合，即α=β+2kπ，k∈Z，请问等式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ依然成立吗？

学生利用诱导公式以及同角三角函数关系式，能够证明等式依然成立.

（4）公式巩固

教师采用直观化策略帮助学生认识公式：①强调α，β的任意性，例如将公式形象地书写为cos（Δ-□）=cosΔcos□+sinΔsin□（Δ，□表示角的数或式）. ②对公式的结构形式进行分析.

（5）公式应用

题1：利用公式C证明①cos

-α

=sinα；②cos（π-α）=-cosα .

题2：利用公式C求值或化简①cos15°；②cos72°cos42°+sin72°sin42°；③cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ.

题3：已知sinα=，α∈

，π

，cosβ= -，β是第三象限角，求cos（α-β）的值.

题1直接应用公式C，以证明的方式让学生进一步明晰诱导公式与公式C之间的联系，帮助学生在认知结构中形成命题系，有助于知识的贮存和提取. 题2和题3一方面是公式C的简单应用，使学生掌握公式C的结构形式及功能；另一方面是训练学生有序的思维习惯，发展学生的数学运算素养.

（6）归纳小结

①反刍探究路径及蕴含的思想方法；

②深化对公式的认识.

（7）作业设计

教材课后练习第1题、第4题、第5题.

[?]教学思考

1. 整合教材，让知识自然生成

教材仅是教学的资源，教师应该立足新课标和新课程理念，站在学科核心素养的角度，合理整合教材，从教学的实际出发，精心设计教学活动，优化知识的生成过程，凸显思维活动的完整过程，使学生真正理解数学知识和方法的产生过程，由此不断深化思维，提升数学素养.

2. 问题引领思考，促进学生思维提升

“学起于思，思源于疑”. 问题是课堂教学过程的灵魂，问题是数学的心脏. 有意义的教学活动是把知识设计成针对学生思维最近发展区而提出的问题，让思维从问题开始，思维活动又形成新问题，这种递进式的问题能引领学生思考，让学生在解决问题时领悟知识、发展能力、学会学习.

总之，教师实施课堂教学的精髓在于站在学生终身发展的角度去思考如何理解数学知识、理解学生，如何设计数学活动，如何帮助学生获得知识与技能，如何发展学生的数学能力，进一步落实学科核心素养，实现育人价值.

参考文献：

［1］  人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中教科书教师教学用书（数学必修第一册）［T］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］  喻平. 数学教学心理学［M］. 北京：北京师范大学出版社，2018.