一道高三联考题的解法探究及推广

崔丽影 (江苏省连云港市外国语学校 222006)

在高三高考数学备考过程中，教师应引导学生通过对基本题型的探究透析数学问题的本质，使学生完善自身的数学认知体系，形成解决某类问题的思路、步骤，即问题解决的程序，提升数学思维的灵活性和深刻性，进行有效的课堂教学，发展数学核心素养．本文以一道期中联考题为例加以说明．

1 试题呈现

这是2020届江苏省连云港市十二所普通高中高三期中联考试题的填空压轴题，考查了解三角形中余弦定理、面积公式、三角函数关系，以及函数最值、平面向量、圆知识的交汇点等基础知识的应用，又考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等数学素养，突出了能力立意，彰显了数学思想方法．看起来背景熟悉、平淡无奇，实际上内涵丰富．该题解题思路较多，从不同的角度去审视它可以得出一系列优美解法，为学生提供了多样化的选择，是一道匠心独运的好题．

2 思路及解法探究

(3)思维障碍：题目条件中没有给出△ABC的边长和角度，只是隐含给出腰上中线的长度．不少学生想到中线长度公式或中线向量形式的表示两边平方，从而造成了思维上的定势，将解题带到了错误方向，导致无功而返．

图1

思路4 我们知道，一般在解三角形时都有这样一个常识：遇到中点联想中位线．故不妨取AB的中点E，连结DE，BD，CE,利用四边形BCDE面积最大值进行求解．

图2

3 问题推广

3.1 问题一般化

3.2 改变题设条件

3.3 题设和结论都改变

变式1 在△ABC中，三个内角分别为A,B,C，AB=3，AC=6,角A的平分线AD的长为2，则∠A的大小为．

4 感悟与反思

在高三数学专题复习教学中，解题教学是主旋律．但教师很容易陷入“就题论题”的教学误区中，仅仅停留在把题目的答案求解出来，以至于课堂变得枯燥无味，缺乏新知的生成，学生思维能力的灵活性和深刻性很难得以进一步提升．通过对该题解法和变式的探究，笔者对“如何在解题教学中发展学生的数学核心素养”有了进一步的思考．

首先，关注解题基本模型，聚焦问题表征．知识表征是一个状态量，是静态的．学生的知识表征可以是语言、文字、图象、公式、概念图、知识结构图等．同一知识可以用多种方式来表征，教师要引导学生选择最佳的方式获取表征知识，帮助学生更好地探索解决问题的思路，猜想结果，发展学生的直观想象素养．教师在此过程中引导学生思考解决思路的异同，通过类比归纳寻找解题模型，搭建问题线索，从问题表征的角度去比较问题解决思路的异同，形成解题程序．

其次，抓住通性通法，形成解题程序．通性通法是解决某类问题最合理的想法、最基本的思路、最普遍的操作程序．通过一题多解、多解归一，让学生掌握处理一个基本模型的方法，理解方法背后所隐含的数学思想方法，知道如何应用到其他情境中去，发展学生的数学建模素养和逻辑推理素养．变式训练变化的是题目，不变的是通性通法，通过对问题变式的探究和原问题的推广，帮助学生掌握一类数学问题的解法，从而形成解题模块．