遵循数学抽象规律 提高法则教学效率——以去括号法则为例*

韩诗贵 (江苏省锡山高级中学实验学校 214177)

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿于数学的产生、发展、应用的整个过程[1]．大到一个数学体系的公理化、解决实际问题的模型化，小到一个概念的定义、一个证明的方法，都离不开数学抽象．从某种意义上说，数学的学习过程就是发展数学抽象的过程．史宁中教授认为，数学概念或命题的抽象过程大体可以分为三个阶段，或者说三个层次：第一是简约化阶段，把握事物关于数量或者图形的本质，把繁杂问题简单化，给予清晰表达；第二是符号阶段，去掉具体内容，利用符号和关系术语，表述已经简约化的事物；第三是普适化阶段，通过假设和推理，建立法则、模式和模型，在一般意义上描述一类事物的特征或规律[2]．

日常教学中，每一个数学概念与法则的形成都伴随着数学抽象，常常会经历数学抽象的不同形式和不同阶段．根据抽象规律设计教学流程，组织活动，这是数学教学的需要，也是发展学生数学抽象、使核心素养在课堂教学中落地的需要．本文以苏科版教材七年级(上)第3章第5节“去括号”为例，结合D市青年教师评课时执教这节课的不同教学过程，谈谈去括号法则中的数学抽象及相应的教学建议．不当之处，敬请批评指正．

1 从数学抽象的视角分析去括号法则

1.1 抽象的简约阶段

抽象的简约阶段，是用数学的文字语言清晰表达的阶段．通常要经历对同一类事物的观察、分析、比较等过程，从中抽取关于数量、空间形式或结构关系方面的共同属性，舍弃非本质属性，最后用简洁的语言进行阐述，从而形成严谨的数学概念或结论．譬如，去括号法则的教学，常常经历具体数的运算过程，计算：(1)5+(2-1)，5+2-1；(2)-6+(-4+3)，-6-4+3；(3)-9.5-(-5-7)，-9.5+5+7…，进而得到等式(1)5+(2-1)=5+2-1；(2)-6+(-4+3)=-6-4+3；(3)-9.5-(-5-7)=-9.5+5+7…在此基础上，学生观察各组等式两边符号的变化情况，并用语言概括发现的结论．在分析与比较上述等式的过程中，抽取从左到右符号的变化规律，即括号前是“+”，去括号之后，括号内的各数的符号不变，而括号前是“-”时，去括号之后，括号内各数的符号改变．这是简约化过程，或者说是抽象概括的过程，也是从感性的具体到理性的抽象、发展学生数学抽象能力的过程．通过观察、分析、比较不同的数与式及其恒等变形，根据它们反映的共同规律，进行简约化处理.像这样的现象在初中代数教学中随处可见，尤其是法则与公式的教学，常常是不能省略的过程．

1.2 抽象的符号阶段

抽象的符号阶段，是用字母或数学符号表示结论的阶段．我们知道，数学符号是数学抽象的结晶，也是现代数学的基础．符号作为一种特殊的语言，有其自身的独特之处，譬如，精确、简约、形式化等，它便于逻辑论证和交流，提高了思维的效率，具有其他形式不可替代的优越性．去括号法则在经历简约化之后，用含有字母的式子表示概括的结果，这一过程即为抽象的符号阶段．如，用字母符号表示法则的一般性结论．即(1)a+(-b+c)=a-b+c；(2)a-(-b+c)=a+b-c．这里的“a”“b”“c”，从形式上看，就是一个字母，但在这里的真实含义可以表示一个具体的数，也可以表示单独一个字母或其他整式，甚至可以是复杂的代数式．但是单从符号的形式上看不到它的真实含义，这一点也正说明了符号的抽象性．在数学概念与命题的教学中，抽象的符号化是数学发展的必然过程，也常常是教与学必不可少的过程．

1.3 抽象的普适阶段

抽象的普适阶段，是指数学命题经历应用、推理等过程，明晰抽象的结论所适用的范围．譬如，在去括号法则形成之后，为了帮助学生理解法则的适用范围和适用的模式，常常会安排适量的、有针对性的练习，这是抽象普适化的一个过程，也是促进学生理解法则的过程，不仅要理解法则中符号的变化规律，还要理解法则中“a”“b”“c”的具体意义．xy-(2x2-3)=xy-2x2+3，在这里“a”“b”“c”表示的是一个式子，或一个数，而在 2b-[ab-(3ab-2a)]-7a中，如果先去中括号，那么“a”“b”“c”还可能表示一个多项式．去括号法则的练习与应用是根据法则进行演绎推理的过程，是学生理解与掌握法则的过程，也是学生接受抽象的普适化过程．

通常情况下，去括号法则的教学应该经历上述三个抽象阶段，这是一个循序渐进的过程，也符合认知规律．但是因为去括号这一知识点安排在“代数式”这一章，去括号之前刚刚学习了代数式、代数式的值、合并同类项等知识，所以苏科版教材先通过赋予字母具体的数字，求代数式的值，然后在比较不同代数式值的结果中归纳去括号法则，这是整体编排的需要，同时也彰显了知识的发展规律：因为合并同类项的需要，所以才研究去括号，有了去括号法则，才能简化代数式．教材在法则简约化的过程中也融合了法则符号化的部分过程．实际上，学生第一次见到“a+(-b+c)”“a-b+c”“a-(-b+c)”“a+b-c”等式子与经历简约化后的认识是完全不一样的，第一次见到的式子仅仅是一个代数式而已，而经历简约化之后，“a+(-b+c)=a-b+c”“a-(-b+c)=a+b-c”才是一个抽象的结论和抽象的法则．

2 从数学抽象的视角审视不同的教学流程及其建议

在D市青年教师执教“去括号法则”的评课活动中，所有教师均创设了实际问题的情境，列出 含有括号的代数式，进而提出研究去括号的必要性．在探究法则的过程中，多数教师的流程大致如下：

第一步，字母取不同的数求代数式的值，得到表1或与表1类似的数据(学生自主获得或教师直接提供)；

表1

第二步，问题1：你发现了什么？

第三步，问题2：你能运用所学的知识解释这个法则的合理性吗？

第四步，用文字语言概括结论；

第五步，运用去括号法则进行整式运算，即去括号法则的应用．

这样的处理基本是按照教材的顺序，符合学生的认知规律，也遵循了数学抽象的层次性．不同教师课堂教学的差异体现在细节的处理上.当然，细节的处理影响了教学的效果，也反映了教师的教学理念与教学基本功．

在所有教师的教学中，去括号法则的探索只有教师M与其他教师不同．在他的教学中，跳过了通过数字的计算发现结论的环节，直接通过演绎推理证明去括号的两个标准式子．如，a+ (-b+c)=a+(+1)(-b+c)=a+(+1)(-b)+(+1)(+c)=a-b+c①，以及a-(-b+c)=a+(-1)(-b+c)=a+(-1)(-b)+(-1)(+c)=a+b-c．依据乘法分配律进行形式化的推理，得到“a+(-b+c)=a-b+c”和“a-(-b+c)=a+b-c”．因为跳过了具体数字的计算与体验，缩短了法则的发现与探究的过程，所以课堂上学生有更多时间用于去括号的练习．

关于教师M对这一环节的处理，笔者以为值得商榷．首先，运用乘法分配律能推导式子①吗？为什么不是a+(-b+c)=a+(+1)(-b+c)=a+[(+1)(-b)+(+1)(+c)]=a+(-b+c) ②，从学生学习的角度审视，等式②的过程是否更合理一些呢？利用分配律可得，a-(-b+ c)=a+(-1)(-b+c)=a+[(-1)(-b)+ (-1)c]=a+(b-c) ③，这样的变形可以接受．也就是说，如果等式①成立，那么能够得到a-(-b+c)=a+(b-c)=a+b-c．可见，用乘法分配律证明去括号的两个结论的逻辑起点是+(-b+c)= -b+c ④．问题在于如何让学生理解这个逻辑起点？若等式④成立是否就说明了去括号法则的正确性呢？有数学家曾说过：不要试图去证明符号法则的逻辑必要性，更不要把不可能的证明讲得似乎成立．历史上大多数学家遇到的困难，恰恰正是今天学生会遇到的学习障碍，试图利用逻辑演绎的冗长语言来消除这些困难是不可能成功的．其实，在初中数学的数与代数部分，像这样的情况还有很多，如数的运算法则、运算律、因式分解，等等，其实只要举例说明、学生能够接受就行，无需从逻辑上进行严格的证明．其次，刚升入七年级的学生对事物的认识还停留在感性的、具体的阶段，初次认识用字母表示具体的数，关于字母的形式化的抽象思维尚未形成，此时，形式化的推理对于绝大多数学生而言是有障碍的.跳过数字计算发现结论的阶段，使学生对去括号法则的理解失去了感性的基础和抽象的过程，也就失去了熟悉法则和发展数学抽象的机会，必然会增加学生的记忆负担，而弥补这一缺陷，许多教师的策略只有大量练习、重复练习．

从数学抽象的视角看，理解数学需要认识数学知识形成中的数学抽象的层次与过程，理解学生需要了解不同年龄阶段的学生的数学抽象能力，而理解教学需要遵循数学抽象的规律，设计符合学生抽象能力的教学活动．厘清数学命题的不同抽象阶段与抽象过程，才能有的放矢，培养学生的数学抽象能力才能从不自觉走向自觉．这是提高教学效率的需要，更是发展学生核心素养的需要．