应用导数研究函数的“曲切转化”策略*

李建新 (江苏省泰兴中学 225400)

1 寻找切点——透视一类超越函数的零点问题

例1已知函数f(x)=ex-2x+a有零点，则实数a的取值范围为．

分析 对于函数有零点的问题，一是直接求解，借助函数的单调性，结合函数零点的存在性定理求参变量的取值范围；二是分离参变量，转化为函数的值域问题；三是数形结合，即转换成两个不同函数的图象有公共点的问题．我们推荐第三种做法．

解函数f(x)=ex-2x+a有零点，所以方程ex=2x-a有解．令y=ex，y=2x-a，则本题转化为直线y=2x-a与曲线y=ex有公共点．易求出斜率为2且与曲线y=ex相切的直线方程是y=2x+2-2 ln 2．结合图象可知：当-a≥ 2-2 ln 2，即a≤-2+2 ln 2时符合题意．

借助切线，举一反三，我们可以解决很多类似的问题．

变式1已知函数f(x)=ex-a(x+1)，其中e为自然对数的底数，a∈R．g(x)=(a+e)x，若存在x0∈R，使得f(x0)=g(x0)成立，则实数a的取值范围为．

例2(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1) (e为自然对数的底数)，则点A的坐标是．

分析 题中提到“在点A处的切线”，因此A就是切点，故可以从点A出发．设A(x0,lnx0)，求出切线方程，然后利用点(-e,-1)在切线上得关于x0的方程，解方程即可得点A的坐标．

图1

变式(2013·江苏20改编)设函数f(x)=lnx-ax，其中a为实数，若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．

由以上的题目可以看出，如果我们平时能有一定的知识储备，无论是例题还是变式，我们都能迅速进入解题状态，赢得解题先机．

2 探求切线——破译含参不等式的恒成立问题

例3若不等式ex≥kx恒成立，则实数k的取值范围是．

分析 这是一个不等式恒成立的问题，处理此问题一般有三个角度：第一是分参；第二是构造函数，研究函数f(x)=ex-kx，令f(x)min≥0即可；第三可以数形结合，分别令y1=ex及y2=kx，只要函数y1的图象在y2的图象上方(允许有重合的点)即可.这里我们推荐第三种方法．

解因为y=ex，所以y′=ex，设过原点的直线y=mx与曲线y=ex相切于点A，A(x0,ex0)，则点A处的切线方程可以表示为y= ex0· (x-x0)+ex0，即y=ex0x+(1-x0)ex0．因为此切线过原点，所以得关于x0的方程(1-x0)ex0=0，解得x0=1．所以切线方程为y=ex，观察图象可知0≤k≤e符合题意．

说明 我们之所以建议选择第三种解法，是避免“小题大做”：第一、第二种方法虽然可以解决问题，但要涉及分类讨论，容易给学生带来不必要的麻烦．而第三种方法由数形结合联想切线，解题过程也简单．

最小二乘估计中，仅考虑观测值的偶然误差，不考虑系统误差和模型误差，得到的参数解是最优线性无偏估计量，但是在实际问题中，如果不考虑模型误差和实验环境的影响，有时会严重影响参数估值结果。为克服以上参数模型的局限，半参数回归模型提供了一种新方法。半参数回归的函数模型可以表达为：

变式1已知实数a,b,c,d满足lna=b，c+3=d，则(a-c)2+(b-d)2的最小值是．

分析 初看题目条件，变量较多，变量间的关系虚无缥缈．再看需要解决的目标问题，易联想到两点间距离公式．由此想到本题的条件可分别表示成曲线y=lnx和直线y=x+3，从而回归到例4的类型中，但不同点是本题求的是距离的平方，答案为8．

变式2已知不等式(m-n)2+(m-lnn+λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0,+∞)恒成立，则实数λ的取值范围是．

说明 变式2可借助GGB、几何画板，由图象可以看出，当直线l平移至与曲线相切时，切线l′与l之间的距离即为所求．变式1、变式2加入了大量的抽象字母对学生进行迷惑，要利用式子的几何意义提出问题，再回到曲线与切线的解题思路上来．

3 切线降维——寻根复杂函数的代数论证问题

例5证明：x>0时，ex>lnx+2．

分析 这是一个不等式证明的问题，处理此问题一般有三个角度:第一是构造函数，研究函数f(x)=ex-2-lnx，去证f(x)min；第二可以令f(x)=ex，g(x)=2+lnx，然后去证f(x)min>g(x)max；第三可以寻找中间量h(x)，去证明ex>h(x)>lnx．下面主要介绍第三种方法．

解设直线l:y=kx+b与曲线f(x)=ex(e为自然对数函数的底数)相切于点A(x1,ex1)．由f(x)=ex得f′(x)=ex，故f′(x1)=ex1，因此该切线可以表示成y=ex1(x-x1)+ex1，即y=ex1x+(1-x1)ex1．

令f(x)=ex-x-1，则f′(x)=ex-1，因为x>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，即f(x)=ex-x-1>0，所以ex>x+1．同理可证明x+1≥ lnx+2，当且仅当x=1时等号成立．故ex>x+ 1≥lnx+2成立， 即得x>0时，ex>lnx+2．

图2

两个曲线的公切线问题一直是高考的一个热点问题，这其中涉及求值、求范围或者证明等式问题．本题中公切线就是联系函数y=ex和函数y=lnx+2的纽带和桥梁，是证明不等式时重要的中间量，从而将证明不等式的问题巧妙地转化成了求解公切线方程的问题(图2)．

诸如此类的问题还有很多，我们不再一一列举．由此，切线的引入为放缩作了铺垫．通过探究，我们可以积累相应的结论，为顺利完成函数压轴题做好准备．