如何深入研究数学题——以一道考试填空题为例*

李广修 (江苏省无锡市第一中学 214031)

数学教学过程中，我们时常被告诫不能就题论题，可我们通常仍是难免就题论题．也许是因为教学任务繁重，无暇多做研究；也许是因为不知如何进一步探索，无力深入研究；也许是因为还没有认识到经常深入地研究一些数学题会对数学教学产生积极影响．

1 统元识，识“好题”

实际上，抓住一些典型数学题，尤其是对一些大型考试中的数学题进行“解麻雀”，可以促使我们扩充个人的数学知识边界，加深个人对数学知识本质的认识，精进数学技能，强化应用数学思想方法解决问题的意识，从而达到“庖丁解牛”的境界，引来学生“技盖至此乎”的感叹．

之所以选择大型考试中的题目，是因为一般而言大型考试能够以课程标准为准绳，从教材中挖掘试题素材；每道试题都有明确的测量指向，其考查要求具有较好的基础性、综合性、应用性、创新性，而且由设置适当情境而提出数学问题，能够有效地考查数学的必备知识、关键能力和核心素养；每道试题都是经过斟酌又斟酌，精挑细选．特别是大型考试中初识便让人耳目一新的试题，可把它作为“追猎”的对象．所谓的“好题”，就是能生“金蛋”的题：研究它，能促使我们产生好多新的认识，能派生出一些新的问题刺激我们进一步研究．

这里以2019-2020年度江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)的一道填空题为例，谈谈如何对一道数学题进行深入研究.

此题既综合了直线与圆、圆与圆的位置关系，又综合了解析几何、平面几何、向量、不等式等内容，数形结合味道特别明显．这类问题还是高中数学的重点内容，是近年高考数学中的热点问题．

2 立深识，识要切

我们如果沿以下思路作出研究，便可以让此题发挥出小中见大的作用，如此进行，也可以举一反三，触类旁通．

第一步 研究题目意图

要深入研究数学题，首先就要研究题目的意图．为此，先通过适当的方式解读题目的显性含义，明晰题目的已知条件、求解目标以及已知与未知的关系．就本题而言，要按其叙述一步一步地把图、式、关系勾勒出来，从全局的角度去观察，研判图形结构、量之间的关键关系，而不是点、线、三角形、四边形、圆一个个看过去，变元一个个思量，只进行孤立分析．要在看题和思考的过程中，通过想象各种符号、对象、运算所构成的网络，充分发挥想象的直观作用，感知整体，抓住要点与关键，暂不去考虑逻辑细节．继而，要完完全全地把题目解答出来．在明确了解题切入口、路径后，要制定详细的解题方案并一步不落地执行，以检验解题方案的可行性、优劣度．只有通过这样切实的解题实践活动，才能清楚地知悉完成题目解答所需的知识、技能、思想方法是哪些，要有怎样的认知过程，也才能真正明白题目的意图到底是什么，从而有效地选择破题之策．

图1

比如，图形被完整地画出来后(图1)，要从整体上看，发现OMNO1，ON∥O1M，ON是△ABM的中位线，AM=2ON，AO1长度是3．于是点A是圆O：x2+y2=1与O2：(x-a)2+y2=9的公共点．这样一来，问题就转化为圆和圆有公共点的问题，其解题路径以向量运算或解析几何为主渠道．至此，这道题的命制意图就很清楚了：从数学内部构建了一个关于两圆位置关系的综合情境，提出了一个数与形结合的问题．

第二步 剖析试错原委

反省解题发生错误的原委，是条件没用全．可以把这样的解题错误归因于审题不细致，要把它作为一条经验教训来吸取．如果我们再深入地想一想，会有更多收获：无论是在解题还是教学中，我们总是通过图形的性质、通过代数的整体化来求解直线与圆的位置关系问题，很少“硬求”两圆的交点，而这里竟然就这么做了，好像也只有这么做才行的通．因此，本例又可以作为促进我们端正对数形结合的认识的典型例子，它能让我们认识到解数学题既不可完全依赖数，也不可完全依赖形．这些思考也深刻揭示了剖析试错原委的重要价值．

第三步 探讨转化等价

求证类问题是证明命题的“必要性”，也就是从已知、定义、公式、定理、公理、运算律、运算法则出发，逻辑性地推出结论．而对于求解类问题，不仅要求可以顺推，还要求能够逆推，即求解的结果要和已知等价，是充要条件．这就要求在解决问题时，每一步操作都能进行等价转化．有时解答出错，原因就出在转化不等价．解题的严密性对数学教师来讲是基本素养的体现，也是非常重要的要求．

第四步 探索其他解法

不同解法对应着对同一问题或知识的不同理解与表征，作为教师，我们多多少少能感受到一题多解对解题及教学的作用．下面，我们以此题为例探索其他解法．

首先，可以通过题目条件的要素探索解法．很明显，题目中共线的条件较多，而数乘向量是解决点共线的锐利武器，不妨沿此方向进行探索．

其次，可以通过问题的归类寻求通性通法．作为一道数形结合问题，解析几何的方法是解决数形转换的有力工具，顺着这条途径可以获得如下解法：

除此之外，我们还可以研究本题的各种解法所体现的共同思想、本题和曾经解答过的某些题的共性，研究本题解法的可迁移性以及变式等．

3 再认识，识升华

由上可知，对具有一定意蕴的数学题作深入研究，有利于反思所教、溯本求源、回到产生知识的起点，沟通数学知识之间的联系，阻断知识的碎片化，跳出题海，抽象出数学模式；有利于进一步地掌握数学知识、技能、思想和方法，提升理性思维，促进思维能力、实践能力和创新意识的发展；也有利于培养好奇、好问、好思的良好研究习惯，提高发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力．要做到深入研究，我们就要有自觉意识，有独立思考意识、批判意识，并为此付出持续努力．

抓初识是深入研究数学题的时机，抓“好题”则是深入研究数学题的选题标准，标准反映了深入研究的题目应是有代表性的思想方法值得学习的这一要求．“弱水三千，只取一瓢饮”，单墫博士曾指出[1]：从大洋中舀一瓢水，细细品味，就可以知道大洋的成分．当然，深入研究数学题的哪些方面、研究到什么程度，则应量“题”裁衣、量力而行．成熟的、经验丰富的教师对大多数数学题都能“耳熟能详”，而要深入研究数学题，则要注意以理论为指导，还要注意探求已得答案的意义．罗增儒教授曾经形象化地指出[2]：解题前的分析如同在黑房间里摸索，而解题后的回顾如同拉开了房间的电灯，后者比前者多了很多信息，其中结论也是已知信息．