利用GeoGebra对一道高考题的深度探究*

朱阳帆 (江苏省扬中高级中学 212200)

1 问题的提出

原题(2018全国卷Ⅱ理19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8．

(1)求l的方程；

(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程．

解(1)y=x-1(过程略)．

这题是高三二轮复习时的一道练习题，大部分学生的答案少一解，课后交流了解到学生潜意识里认为满足题目中所给条件的圆只有一个．在分析学生错因的同时，笔者想到这样一个问题：

探究1平面内有一条定直线l，有A,B两点在定直线l同侧，A,B两点的连线与l不平行，那么过A,B两点且与直线相切的圆有几个？

GeoGebra作为一款融几何、代数和微积分等于一体的动态数学学科软件，能够深入数学学科内部，展现数学对象间严格的数量关系和几何关系、运动与变化中的数学规律，特别适合对解析几何问题进行探究．[1]下面笔者展示利用GeoGebra探究这道高考题的过程．

2 探究过程

笔者用GeoGebra对探究1进行了探究：根据题目要求在平面内作出直线l和A,B两点，利用切线工具和圆工具，作出了如图1所示的两个圆，可得如下结论：

图1 图2

图1结论：当AB两点的连线与直线l不垂直也不平行时，一定能做出两个半径不一样的圆过AB两点且与l相切．

通过对问题1的探究，笔者得出此高考题的题源来自于图1结论：过一条直线外同侧的A,B两点(A,B两点的连线与l不平行)且与l相切的圆有两个．这是利用GeoGebra探究观察得到的，如何对它进行证明呢？经过思考，笔者用GeoGebra进行了如下操作(图2)：(1)作直线AB交直线l于点P，找到PA的中点M，以M为圆心、MP为半径作圆M； (2)过点B作PA的垂线交圆M于 点C，连结PC；(3)以P为圆心、PC为半径作圆P交直线l于点D,E，分别过点D,E作直线l的垂线，交线段AB的垂直平分线于点F,G；(4)分别以点F,G为圆心，FA,GA为半径作圆．

笔者把两个所求圆用红色标记出，这两个所求圆是用GeoGebra的各种几何工具所作得，和图1的直接作法完全不同．通过GeoGebra产生的图2验证了笔者的想法．现在给出其几何证明：

因为△PBC∽△PCA，所以PC2=PA·PB．又因为PC=PD，所以PD2=PA·PB． 由切割线定理，点P为圆F外一点，PD与圆F相切，AB为圆F的弦，则圆F为过点A,B,且与直线l相切的圆.同理可证，圆G为过点A,B，且与直线l相切的圆．

笔者在探究探究1的过程中也产生了图3～图5，我们得出以下结论：

图3 图4 图5

图3结论：当点A,B的连线与l垂直时，可作两个半径相等的圆过A,B两点且与l相切．图4结论：当l固定，AB两点间的距离变大时，两圆的半径也相应变化．图5结论：当A,B两点距离固定，直线l的斜率变化时，两圆的半径也相应变化．

笔者根据图3～5联想到了第二个问题：

探究2在此题的背景下，当直线斜率变化时，两圆半径的变化规律和直线斜率有关吗？

图6

接下来笔者用GeoGebra做出对探究2的探究(图6)：变化直线l的斜率时，在代数区发现两圆半径随着斜率变化而变化．结合图6的动态过程，猜想：直线斜率与两圆半径之间可能呈现一种函数关系，此函数如果以直线斜率k为自变量，那么可能是关于k偶函数．笔者先尝试用代数证明．

图7 图8

3 探究总结与展望

图9

(1)探究总结.笔者的探究思路如图9所示．本次探究利用了GeoGebra各方面强大的功能，得出了一道高考题命题的几何背景以及一个与抛物线相关的小结论．

(2)探究展望.数学问题的探究无止境，一个数学问题可以衍生出很多不同数学方向的问题，下面笔者抛砖引玉，给出关于本文中探究1和探究2中还能继续探究下去的几个数学问题，希望可以激发同行之间的探究兴趣，相互交流．

问题1当A,B两点的连线与l平行时，能作几个圆过A,B两点且与l相切？圆的个数与什么有关？

问题2把探究2中的抛物线换成椭圆与双曲线，其他条件不变，可以得到什么结论？能否推广到整个圆锥曲线系里？