观察 思考 表达——“打印纸中的数学”教学实录与反思

姜晓刚 (江苏省连云港市新海实验中学 222000)

1 基本情况

1.1 授课对象

本校九年级18班的学生，基础较好，思维活跃，发言踊跃．

1.2 教材分析

“打印纸中的数学”是苏科版配套的《数学实验手册》(八年级上册)的一节数学实验课，是为八年级上册“4.3 实数”而设计的．通过对A4纸的长与宽的估计、度量、折叠等活动，探索A4纸长与宽的比值，感受无理数的存在．考虑到八年级学生的知识、经验和能力水平的限制，在活动中仅仅停留在猜 想和感受的层面，缺乏对A型打印纸的数学的整 体感知和本质的认识．鉴于发现和解决问题需要的知识、能力、思想和活动经验，故选择了九年级的学生．

教学目标 (1)经历“打印纸中的数学”探究过程，寻求用已有的知识和经验解决生活实际问题， 体验感受数学发现和问题解决的快乐；(2)能用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达； (3)手脑协同，启思明理．

教学重点 引导学生通过自主探索和合作讨论，探索A型打印纸的长与宽的比值．

教学难点 问题的发现、提出与分析、解决．

2 教学过程

课前5分钟，教师将A4包装袋内的A4纸抽出部分，发给学生，每人一张；将A3包装袋内的A3纸抽出部分，发给学生，每两人一张．

·片断1——创设情境

师：同学们，这是一张A4打印纸，在我们的工作学习中经常用到，甚至外国的朋友们也经常用到它．它如此流行通用，势必蕴藏着许多秘密，今天我们就从数学的角度去探寻打印纸中的秘密．(教师板书课题：打印纸中的数学)

师：我们从哪里入手呢？

生1：形状、大小和位置．

生2：周长、面积、体积．

生3：长、宽、高．

师：这张A4纸的形状是矩形，位置是在各人的手中，厚度(高)太小，看来应该从长、宽入手，有了长与宽，就有了周长、面积等．这张A4纸多长、多宽呢？

生4：量呀！

(学生忙碌度量中……)

师：(板书最终公认的度量结果) 长297 mm，宽210 mm．

师：哎，缺少细致的观察就会多走弯路！哪位同学能够不用测量就知道这张A4纸的长宽的数值？

(学生们沉默……教师有意识地拿起A4纸的包装袋，缓慢地从中抽出一张A4纸)

生5：(兴奋地叫道)老师，包装袋上应该标有长宽的数据．

(一生鼓掌，之后学生们一齐鼓掌)

·片断2——引发猜想

师：大家看到长、宽的数值，似乎看不出什么端倪．难道秘密隐藏在长与宽的运算中？

(板书)长 + 宽、长 - 宽、长 × 宽、长/宽、宽/长．

共同计算对应的数值： 507, 87, 62 370, 1.414 2 …, 0.707 07 ….

(越来越多的学生点头称是)

·片断3——折叠验证

师：(晃了晃手中的A4纸)既然有了猜想，那么该如何验证呢？

(一小会儿后)

生7：我知道了，用三张纸像这样一拼就可以了．

师：请你上黑板讲给我们听听．

在掌声中生7上了讲台，并在黑板上用磁铁块订住了如图1所示的三张A4纸片．

图1

师：生7不仅仅是验证了这个猜想，更重要的是还交待了怎样想的思路，很棒！

师：给大家出个难题，如果只用手里的这张A4纸该如何验证这个猜想呢？

生8：(接嘴道)折叠呗！

师：怎么折？怎么叠？

(众生又无限忙碌中……)

生9：老师，我上去讲吧！

(生9急不可待地跑上了讲台，展示中手中的纸，很兴奋地讲解着……)

师：刚才生9讲的验证方法，你听明白了？与你的思路相同吗？

其实通过边折纸边讲解的形式很直观，但不够通俗易懂，我们需要将这个讲解过程用数学的方式来呈现，通过数学语言来表达和交流．

师：刚才生9讲的，应该这样来呈现——如图2，将长方形ABCD沿着AE折叠，使得点B落在AD上，展开复原，得折痕AE；再沿着AF折叠，使得 点D与点E重合，展开复原，得折痕AF．

图2 图3

这种折叠验证的思路是：先构造一个以A4纸的宽AB为腰的等腰直角三角形ABE，再验证A4纸的长AD是否与AE重合即可．

这样通过文字语言、符号语言、图形语言的综合表达和交流，可以数学化地说明和解决问题．

师：还有同学有不同的验证思路吗？

不一会儿，有学生提出了如图3的折叠验证思路(即构造一个以A4纸的长AD为腰的等腰直角三角形AGD，再验证A4纸的宽AB是否与AG重合)．

·片断4——类比探究

师：同学们，除了A4纸，我们还经常用到A3纸，A3纸里又有怎样的数学秘密？

(师从A3纸的包装袋内抽出一张，用磁铁订在黑板上)

生10：用与A4纸同样方法进行探究．

师：那我们还从度量A3纸的长与宽开始．

生11：不用，应该去A3纸的包装袋上找长与宽的数据．

生13：找到长与宽的数据，验算一下不就行了吗？

生14：我将手里的A3纸对折后，似乎和A4纸一样大．

生15：对的，我将两张A4纸长边对接拼成的纸片与A3纸一样大．

师：请你按照自己设想的方式对A3纸进行操作、猜测和验证．

(过了一会儿，请生16上讲台)

图4

师：生16居然能通过A4 纸的长与宽的关系计算出A3 纸的长与宽的关系，而不是通过折叠验证，真的体现了数学思维的价值和数学计算的价值．

师：请大家根据A3, A4纸的认识，来推测A5纸的长和宽及长与宽的比.

生17：A3纸对折是A4纸，那么A4纸对折是A5 纸．

生18：要强调是这样对折，不能是那样对折(边说边用A4纸演示).

师：为什么得这样对折(沿着A4纸的长边的中点的连线对折)？

生18：这样对折后，跟A4纸像，如果那样对折后，纸片就很难看了，没见过．

生19：我认为A3纸怎么对折得到A4纸，那么A4纸就应该怎么对折得到A5纸，这个应该叫折纸的延续性．

生20：我计算了，A5 纸的长应该是210 mm，宽应该是148.5 mm．

师：标准的A5纸的生产规格是长210 mm、宽148 mm，可能是不需要也没必要精确到0.5 mm吧！那长与宽的比值还是吗？

生21：用210除以148就知道是不是的了．

·片断5——课外拓展

其实常用的A3, A4纸仅仅是A型打印纸的常见的两个型号，向上还有A2, A1, A0 纸，向下还有A5, A6, A7, A8等型号的纸．

请同学们课后去破解这些打印纸中的数学秘密吧！

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

本节为数学实验教学课，整节课以“做”为支架进行数学学习，经历较为完整的探究“打印纸中的数学”的活动过程，通过动手操作、动脑思考的思维活动，手脑协同、启思明理，有效地促进学生思维的发展，较好地体现了过程与结果、操作与思维、实验与论证的统一，使得学生在获得数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步与发展．

3.2 教学反思

(1)用数学的眼光去观察

(2)用数学的思维去分析

(3)用数学的语言去表达

数学实验能帮助学生用数学的语言去表达．数学有自己的文字语言、图形语言和符号语言，用数学语言进行交流和表达，有助于对问题的数学本质的认识、揭示和演绎．本节课中，教师见到学生用手中的折纸进行验证性表述时，就适时引导学生用规范的图形语言和符号语言进行表达和演绎，后来学生在计算A3纸的长与宽的比值时就能自觉地运用图形和符号进行计算和表达．

在“观察—思考—表达”的数学实验教学中，学生经历了“观察—猜测—操作—验证—归纳”的探究过程，感悟到“知识是怎么来的”“知识是什么”和“知识是怎么去的”，领会了“如何研究”“怎样发现”的方法途径，通过多种感官参与的认知活动，在问题的发现、提出、分析、解决的过程中，促进了学生思维品质和关键能力的提高，体现了在课堂教学中对形成学生数学核心素养的思考与落实．