基于变分模态分解时频图的轴承故障诊断

李 辉

（天津职业技术师范大学机械工程学院，天津 300222）

近年来，Huang 等[1]提出的经验模态分解（empirical mode decomposition，EMD）技术在非平稳信号处理中得到了广泛的应用[2-5]，主要用于非平稳、非线性信号的分析，但经验模态分解技术不仅存在端点效应、易受噪声影响、模态混叠效应、难以有效分离多个频率相差很小或幅值相差较大的信号等缺陷，而且还缺乏理论推导基础，分解过程采用的筛选算法（sifting algorithm）过分依赖于应用的极值点寻找方法、上下极值包络线的插值方法和循环停止准则，因而影响了EMD 的实际应用效果[6-7]。例如：模态混叠效应使EMD分解后的固有模态函数（IMF）不是单频率信号，致使其物理意义模糊不清，信号特征难以有效识别；噪声的影响使EMD 难以有效分离各模态分量，夹杂在信号中的微弱信号往往会被能量较大的信号成分淹没。近年来，为改善EMD 的性能，学者们提出了许多改进措施，为消除EMD 模态混叠现象，Wu 等[8]提出了总体平均经验模态分解（ensemble empirical mode decomposition，EEMD）技术，但 EEMD 技术也难以有效提取强噪声环境中的有用信号分量，而且还延长了信号处理时间，增加了计算负担，难以取得预期的效果。许多学者也针对EMD 的缺陷，提出了新的信号分解方法[9-12]，如同步压缩小波变换（synchrosqueezed wavelettransform，SWT）、经验小波变换（empiricalwavelet transform，EWT）等，并取得了一些较理想的效果。最近，美国学者Dragomiretskiy 等[13]基于变分计算和窄带信号分析理论，提出了变分模态分解（variational mode decomposition，VMD）信号分析方法，并成功应用于心电图（electrocardiogram，ECG）信号分离。VMD 不仅避免了模态混叠现象，而且能从强背景噪声中有效提取各个固有模态分量，提高了计算效率、信号分离的可靠性和信噪比。本文简要介绍VMD 的基本原理，给出其计算算法，并对VMD 不足之处进行完善，将该方法与时频图相结合，提出基于变分模态分解时频图的轴承故障诊断方法，并应用VMD 时频图方法对齿轮箱轴承的故障进行识别，提高了轴承故障诊断效果。

1 变分模态分解（VMD）的基本原理

变分模态分解[13]的主要思想是利用变分法将时域信号x（t）分解为一系列固有模态函数uk（t）的和，每个固有模态函数在频域内，对其中心频率ωk是紧支的而且稀疏，变分模态分解利用交替方向乘子算法（ADMM）优化方法同时优化计算出各个固有模态函数及其中心频率。步骤如下：

（1）计算每个固有模态函数uk（t）的Hilbert 变换，记为

约束于

利用二次惩罚项和增广拉格朗日乘子法（augmented Lagrangian multiplier method）将式（1）表示的约束优化问题转化为无约束优化问题

式中：λ 为拉格朗日乘子；α 为信号噪声方差。

式（2）表示的无约束优化问题可以采用交替方向乘子算法优化方法进行求解，即

②重复循环；

n←n+1

for k=1 ∶K

对于所有ω≥0，更新拉格朗日乘子λ

这样，对于一个时间序列信号x（t），使用变分模态分解（VMD）技术可以得到

即时间序列信号x（t）可表示为若干个固有模态函数（IMF）和一个残余信号的和。

对比VMD 与EMD 的信号分解过程可知，VMD与EMD 技术的主要区别如下：

（1）VMD 不采用循环方式，而是一次分解出所有的固有模态分量，因而计算效率更高；而经验模态分解（EMD）技术采用循环的方式，每循环一次，只筛选出一个固有模态函数（IMF），然后再进行下次循环，直到最后的残余信号为一个单调函数时，筛选过程才停止。

（2）VMD 利用变分原理和窄带信号分析理论，通过交替方向乘子算法（ADMM）优化方法，在频域内寻找每个固有模态函数的中心频率，以确保分解出的各固有模态函数（IMF）为窄带信号，因噪声为宽带信号，因此VMD 分解的各固有模态函数受噪声影响很小，既保证了幅值小的信号分量不被幅值大的信号分量淹没，又提高了信号分解的准确性和可靠性，能保证一次分解出全部的固有模态函数。而经验模态分解（EMD）技术，每一次循环筛选，均需计算出信号x（t）上的所有极大值点以及极小值点，并分别用3 次样条函数拟合所有极大、极小值点，从而分别得到被分解信号x（t）的上、下包络线，然后经过复杂计算，筛选出一个固有模态函数（IMF），因而经验模态分解技术易受噪声影响，甚至有时会严重影响信号筛选的准确性。

2 基于VMD 的信号仿真

下面用一个仿真信号来验证VMD 的有效性，仿真信号由以下信号成分组成

式中：n（t）为均值为 0 的白噪声。

仿真信号由一个扫频信号x（1t）、200 Hz 正弦信号x（2t）和调频信号x（3t）（基频为396 Hz、调制频率为20 Hz）组成，以仿真不同频率、不同能量的信号成分。通过该仿真信号，验证VMD 信号分解的可靠性和准确性。

图1 为仿真信号各信号分量的时域图，采样点数为1 000，采样频率fs为1 000 Hz，采样时间为1 s。图2为叠加高斯白噪声后的合成信号，合成信号的峰值信噪比 PSNR 为 17.071 1，信噪比 SNR 为 6.822。

图3 为图2 所示的仿真信号VMD 分解的结果，VMD 将仿真信号分解为3 个信号分量u1~u3，其中，u1为仿真信号中的扫频信号分量x（1t），u2为仿真信号中200 Hz 的正弦信号分量x（2t），u3为仿真信号中基频为396 Hz 的调频信号分量x（3t）。

图1 仿真信号分量时域图

图2 噪声合成信号

图3 变分模态分解

图4 重构合成信号

由u1、u2和u3重构的合成信号如图4 所示。从图3 和图4 可以看出：由于VMD 方法根据信号分量的窄带前验知识对各信号分量的中心频率进行了合理估计，不仅有效提取了染噪信号中的不同信号分量，降低了信号中的噪声影响，提高了信噪比，而且也没有产生模态混叠现象。重构信号的信噪比为10.153 6，峰值信噪比为17.566 7，重构信号的均方根误差MSE为0.095 568 4，提高了信号的信噪比。图5 为重构信号的时频分布（VMD），在时频平面内，VMD 将图 2 中的3 个信号分量进行了有效分离。图3、图4 和图5 表明：VMD 在时域和时频域中都能有效地将合成信号中具有不同时间尺度特征的信号分量筛选出来，有效降低噪声影响，消除模态混叠效应，使筛选出的固有模态函数具有确定的物理意义，因而VMD 是一种有效的信号处理方法。

图5 重构信号的时频分布（VMD）

为了验证VMD 的有效性，将VMD 与EMD、EEMD进行对比。图6 为图2 所示仿真信号的EMD 分解结果，EMD 将染噪信号分解为8 个信号分量c1~c8和1个残量，从图6 中EMD 分解结果看，因EMD 产生了严重的模态混叠，且噪声对分解结果也产生了严重影响，因此不能从时域内判断c1~c8与原信号中各个信号分量的对应关系。EMD 分解后的时频图（Hilbert-Huang transform，HHT）如图 7 所示。从图 7 中可以看出，HHT 图中仅显示了扫频信号分量x1（t），而原信号中的正弦信号x2（t）和调频信号分量x3（t）没有有效显示，表明EMD 受噪声影响大，有用信号被淹没在噪声中，且产生了严重的模态混叠，导致各有用信号分量不能有效分离，信号能量分散在整个时频平面内。

总体平均经验模态分解（EEMD）如图8 所示，重构信号的时频分布（EEMD）如图9 所示。EEMD 将染噪仿真信号分解为9 个信号分量c1~c9和1 个残量，从图8 中可以看出，c1为合成信号中的扫频信号分量，而仿真信号中正弦信号分量和调频信号分量也被完全淹没在噪声信号中，不能有效分离。

图6 经验模态分解（EMD）

图7 EMD 分解后的时频图

通过以上分析，分别对比时域分解图3、图6 和图8，时频分布图 5、图 7 和图 9，可以看出：VMD 不仅能有效提取染噪信号中的微弱有用信号分量，对染噪信号进行有效降噪，并能有效消除模态混叠效应的影响，而且计算时间快，计算时间对比如表1 所示。故可以得出结论：VMD 从含噪信号中提取有用信号分量的能力优于经验模态分解方法和总体平均经验模态分解方法，VMD 受噪声的影响因素较小，在噪声环境下，有用信号分量的分离比较稳健，且不产生模态混叠现象。

图8 总体平均经验模态分解（EEMD）

图9 重构信号的时频分布（EEMD）

表1 计算时间对比

3 基于VMD 时频图的轴承故障检测

采用某型号齿轮箱输入端轴承进行实验，滚动轴承型号为208，在不影响轴承使用性能的情况下，使用线切割机床，在滚动轴承外圈、内圈上沿轴承厚度方向各加工一处深1 mm、宽0.5 mm 的微型小槽，以分别模拟滚动轴承外圈、内圈局部裂纹故障，并由式（11）和式（12）计算轴承故障特征频率[4]。

滚动轴承外圈故障特征频率为

滚动轴承内圈故障特征频率为

式中：D 为滚动轴承中径；d 为滚动体直径；z 为滚动体的个数；α 为接触角；fr为滚动轴承内圈的转动频率。

实验测试系统为多分析仪系统B&K3560，振动传感器型号为B&K 4508。电动机额定转速为1 500 r/min，采样频率为32 768 Hz。208 滚动轴承的几何尺寸数据为：D=97.5 mm；d ＝ 18.33 mm；z=10；α =0°。根据式（11）、式（12）计算得到滚动轴承内圈的转动频率、滚动轴承外、内圈故障特征频率为

3.1 轴承内圈故障诊断

图10 为滚动轴承内圈故障时采集的振动信号。在滚动轴承内圈表面存在局部裂纹情况下，当滚动轴承的内圈随轴旋转时，滚动轴承的滚珠不断撞击轴承内圈的局部裂纹，将产生峰值较高的高频振动信号系列，但由于滚动轴承内圈故障振动信号受传递路径和其他零部件的影响，因而轴承内圈故障振动信号易被噪声淹没，信噪比较低。因此，简单地根据滚动轴承内圈故障振动信号的时域波形特征很难有效诊断轴承故障，需要进行进一步的处理和分析。

图10 滚动轴承内圈故障振动信号

图11 为轴承内圈故障振动信号经高通滤波后计算的包络谱，在滚动轴承内圈故障特征频率处存在明显的峰值，但由于受噪声影响及高通滤波频带选择的原因，不仅滚动轴承内圈故障特征频率的分辨率较低，而且在滚动轴承内圈特征频率及其高倍频处，也没有出现以轴的旋转频率为间隔的边频带信息，边频带信息模糊不清，因此滚动轴承内圈故障特征既不典型也不清晰。

图11 轴承内圈故障的包络谱

图12 VMD 分解信号分量

图12 为轴承内圈故障振动信号VMD 分解的结果，共 4 个分量 u1~u4和 1 个残余信号。在图 12 中，u1~u4信号分量中存在比较明显的周期性瞬态冲击，为滚动轴承内圈局部裂纹故障引起的高频冲击振动信号所致，残余信号分量Res 为低频噪声。对比图12 和图10 可知：由于VMD 能有效从强噪声环境中分离出有用的信号，更能突显轴承内圈故障引起的高频冲击振动，因而有利于提高轴承故障诊断的准确性和可靠性。

为了验证VMD 的有效性，给出了轴承内圈故障振动信号经VMD 信号分解后，由u1~u4信号分量重构信号的时频图，如图13 所示。

从图13 中可以看出，由滚动轴承内圈局部裂纹故障产生的周期性的瞬态冲击信号系列，在基于VMD的时频谱图中得到了很好的刻画，图13 中周期瞬态冲击的时间间隔为滚动轴承内圈故障的特征周期＝0.006 734 s。所以，基于VMD 时频谱图技术能有效识别滚动轴承内圈局部裂纹故障。通过上述分析可知：图12、图13 的实际处理结果与理论分析一致。因此，验证了VMD 时频谱图技术在滚动轴承故障诊断中的正确性和有效性，提高了在噪声环境下轴承故障诊断的可靠性，为轴承故障诊断提供了一种有效方法。

图13 滚动轴承内圈故障振动信号的时频图（VMD）

为了突显VMD 的优势，给出了图10 轴承内圈故障振动信号的EMD 分解信号分量，如图14 所示。

图14 EMD 分解信号分量

从图14 可以看出，EMD 将振动信号分解为10 个分量c1~c10和1 个残量，其中c1~c4为轴承内圈故障引起的高频冲击，但由于EMD 时域分辨率较低，轴承内圈故障引起的周期性瞬态冲击不太明显，c5~c10为EMD 因模态混叠产生的无用分量。

图15 为EMD 分解后的时频图，由于噪声对EMD分解影响大，不能有效消除噪声的影响，且产生了严重的模态混叠现象，因此从图15 看出：轴承内圈故障振动信号的能量分散在了整个时频平面内，时频分辨率很低，因而不能有效识别轴承的故障类型。对比图13 和图 15 可知：VMD 与EMD 相比，不仅能提高时域分辨率，而且能提高时频域分辨率，能从噪声环境中有效提取轴承内圈故障振动信号的特征，提高了轴承故障诊断的可靠性和准确性。

图15 轴承内圈故障振动信号的时频图（EMD）

3.2 轴承外圈故障诊断

由于滚动轴承外圈固定在减速器箱体上，轴承外圈是相对静止的，因此当滚动轴承外圈存在局部裂纹故障时，轴承外圈故障点到加速度传感器之间的振动信号的传递路径保持不变，而且分布到滚动轴承故障点的静态载荷密度不变化，因此旋转的滚动体不断撞击轴承外圈局部裂纹产生的高频振动信号，其频域故障特征表现为：出现滚动轴承外圈故障特征频率及其高次谐波，且各次谐波幅值按指数规律逐渐递减[14]。

图16 为轴承外圈存在局部裂纹故障的振动信号，图17 为轴承外圈故障信号VMD 分解的结果，共4个分量u1~u4和1 个残余信号，其中u1~u4信号分量中呈现出比较明显的周期性瞬态冲击现象，为轴承外圈局部裂纹故障引起的高频冲击振动系列所致，残余信号分量为低频噪声信号。轴承外圈故障振动信号VMD分解后的时频图如图18 所示。

从图18 可以看出，VMD 时频谱图很好地描述了滚动轴承外圈局部裂纹产生的周期性瞬态冲击现象，且瞬态冲击系列的时间间隔等于滚动轴承外圈故障的特征周期为0.009 852 s，与理论分析吻合。

图16 滚动轴承外圈故障振动信号

图17 VMD 分解信号分量

图18 轴承外圈故障振动信号的时频图（VMD）

4 结 语

本文介绍了基于VMD 时频图的滚动轴承局部裂纹故障诊断方法。VMD 综合利用了维纳滤波和信号变分的优点，通过交替方向乘子算法进行优化计算，通过分解可一次获得信号中蕴含的不同固有特征的固有模态函数，不仅能有效提取淹没在强噪声环境中的微弱信号分量，而且能有效消除模态混叠效应现象，极大地提高了信噪比。基于VMD 时频图的轴承故障诊断方法能有效诊断轴承故障类型，其性能优于传统经验模态分解方法和总体平均经验模态分解方法。