HPM视角下的“点到直线的距离”教学

任念兵 (华东师范大学第二附属中学 201203)

卢成娴 (华东师范大学教师教育学院 200062)

雷沛瑶 (华东师范大学数学科学学院 200241)

1 引言

在解析几何中，用代数方法研究几何对象、用方程表示直线后，通过方程研究两条直线的位置关系：相交、平行和重合．对于相交直线，定量研究它们的夹角；对于平行直线，则研究它们之间的距离，两条平行直线之间的距离可以转化为点到直线的距离，“点到直线的距离”遂成为解析几何研究中的经典内容．《普通高中数学课程标准(2017年版)》对该部分内容的要求是“探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离”．[1]现行各种版本教材采取了不同的方式来求直线l:ax+by+c=0外一点P(x0,y0)到l的距离．沪教版高二数学“11.4 点到直线的距离”中通过向量求点P到直线l的距离；人教A版必修二“3.3.3 点到直线的距离”中构造了以点P为直角顶点的直角三角形，利用三角形面积的不同表示方法来求P到l的距离；北师大版必修二“1.5 平面直角坐标系中的距离公式”中设计算法程序求出点P在直线l上射影(垂足)H的坐标来得到距离PH；苏教版必修二“2.1.6 点到直线的距离”中则同时详细展示了构造直角三角形利用面积、设计算法程序求出垂足H的坐标这两种思路．

目前，对于“点到直线的距离”的教学研究基本都是围绕着推导点到直线的距离公式展开的．除了主流教材中的几种推导方法外，利用整体计算(对垂足H的坐标设而不求)、直角三角形中的三角比、二次函数最值、柯西不等式等方法[2]也被广泛讨论，对距离公式各种推导方法在计算上孰繁孰简、逻辑上是否自然的讨论[3][4]是相关教学研究的热点话题．

点到直线距离公式的推导入口宽，思路丰富，是沟通几何、三角、不等式、函数、向量等知识之间联系的一座桥梁，是启发学生创造性思维的良好问题载体．根据历史相似性原理，鼓励学生多角度思考“点到直线的距离”的求法，自然融入并对比数学史上的相关推导方法，可以高效地凸显问题的数学本质，促进学生对“点到直线的距离”相关内容的深度理解．

基于对教材中“直线的方程”的单元、课程标准中的内容要求和相关教学研究的分析，笔者从HPM视角设计“点到直线的距离”教学，拟定如下教学目标：(1)掌握点到直线的距离公式；(2)会求两条平行线之间的距离； (3)理解点到直线距离的内涵．

2 历史材料及应用

图1

2.1 交点法

早期解析几何教科书多采用“交点法”，化点到直线的距离为两点之间的距离[5]：如图1，先求过点P且垂直于l的直线与l的交点Q(x1,y1)的坐标，再利用两点之间距离公式得出(*)式．英国数学家Young(1830)将直线l,PQ的方程化成关于x-x0和y-y0的方程[6]，即有

Gibson等人(1919)将上述两个方程的两边平方之后求和来得到PQ[7]，避免直接求x-x0和y-y0，这种设而不求的技巧进一步简化了计算．

2.2 三角法

英国数学家Todhunter(1855)将点到直线的距离转化为直角三角形中的边长，用斜边和锐角三角比来表示．[8]

图2

2.3 面积法

图3

图4

2.4 向量法

图5

2.5 最值法

交点法的主要内容是解方程组，计算繁杂.利用设而不求的方法整体处理，虽然避免了繁杂的计算，但是代数变形的思维量陡增；三角法利用“角”来刻画“距离”，和面积法一样都是最为自然的，但都有一定的计算量；最值法挖掘了距离的本质内涵，但无论是利用柯西不等式还是转化为二次函数最值，都有一定的思维量或计算量；向量法则充分发挥了向量的代数和几何双重特性，利用向量法不但可以求出点到直线的距离，还可以得到有向距离(点相对于直线的离差)，反映出点相对于直线的具体方位．比较上述各类方法，根据学生的认知特点及教学内容，适当选取数学史材料并以恰当方式融入课堂教学．

3 教学设计与实施

3.1 提出问题

问题1若两条直线相交，则研究两者的夹角．若两条直线平行，如何定量刻画两条直线的位置关系？

师：由于两条直线平行时，一条直线上任意一点到另一条直线的距离即为两条平行线之间的距离，所以我们将研究点到直线的距离．

问题2已知直线l的方程是ax+by+c=0(a,b不同时为0)，点P(x0,y0)是直线l外一点，那么点P到直线l的距离如何求呢？

图6

师：很好，把垂线放到了特殊的直角三角形中(也可以过P作y轴的垂线)，这也是数学史上研究点到直线距离的重要方法．不过，图6有一个缺陷，它默认了直线的倾斜角为锐角．如果倾斜角为钝角，那就需要再考虑一次(分类讨论)．

师：非常好，刚刚同学们想到三种方法求出了点到直线的距离，其实也是历史上研究点到直线距离最常见的三种思路．最近我们才学习了向量，为什么我们要引入向量数量积的概念？

生：研究角度．

师：很好，除了研究角度，还有别的吗？

生：研究长度．

师：很好，向量的数量积运算可以用来研究长度和角度问题．

3.2 推导公式

问题3能否用向量的数量积来推导点到直线的距离公式？(师生互动，板书推导过程)

师：在点到直线的距离公式的上述推导过程中，总结分类讨论的两种情况，还可以收获一个“副产品”．

师：我们要“不忘初心”，研究点到直线的距离是为了求两条平行直线之间的距离．

问题4两条平行直线l1:ax+by+c1= 0与l2:ax+by+c2=0之间的距离是多少？

3.3 运用知识

例1求平行线l1:3x+ 4y+ 5=0与l2:6x+8y+ 9=0之间的距离．

师：由例1我们知道，要运用两条平行直线之间的距离公式，首先要将直线方程化成统一的形式．

师：由例2解法1可以发现，点P到直线ax+by+c=0的距离，实际上是点P到该直线上动点的距离的最小值，即“点线间距离”是“两点间距离”的最小值，这是点到直线的距离概念的内涵．解法2通过消元、配方求二次函数最值的思路，可以用来推导点到直线的距离公式，不过计算量也比较大．

3.4 课堂小结

(1)对点到直线距离概念的认识，静态看是垂线段的长度，动态看是两点间距离的最小值，对概念的认识决定着公式推导的思路．

(2)对点到直线距离公式的推导，代数上，求垂足坐标从而直接得到垂线段长度，也可以通过消元求二次函数的最值；几何上，将垂线段置于某个直角三角形中，着眼于角度,利用三角比定义求直角边，着眼于面积，利用三角形面积的两种计算方式求斜边上的高．

(3)利用向量方法推导点到直线距离公式，计算量较小，而且还得到重要的“副产品”——有向距离，这在线性规划等问题中都将发挥作用．

4 学生反馈

本节课在实施前后，笔者设置了课前与课后学习单．其中课前学习单发放42份，有效回收30份；课后学习单发放42份，有效回收31份．

4.1 课前学习单分析

所有学生均能准确地表述出两点间的距离，且都以文字表述为主，部分学生会配以几何表示．在表述点到直线的距离时(以下简称“点线距离”)，学生大致有如下一些想法：

·点线距离可以看成点到垂足的距离．

·点线距离可以看作一个动点的轨迹，研究点线距离即研究定点与动点间的距离．

·点线距离即点到直线上任一点的距离的最小值，点与直线上一点连线段的最短长度．

从以上可以看出，学生对点线距离的理解还是比较到位的，这为思考推导点线距离公式的方法也奠定了基础．

4.2 课后学习单分析

(1)学生对数学史融入数学课堂的态度.在本节课例实施后，调查学生对于数学史融入数学课堂的态度．有45%(14人)的学生非常同意教师在以后的数学课中也能融入数学史；52%(16人)的学生同意融入数学史；还有3%(1人)的学生未给予回答．可见，大多数学生对数学史融入课堂持肯定态度．

(2)学生对多元推导方法的态度.97%(30人)的学生认为有必要给出多元的推导方法，理由主要分为以下几类：

·拓宽思路，促进知识系统化．

·可以为做题提供思路，考试光靠一种方法是不够的．

·知道多个方法很有趣，帅！

·能够发展思维，弥补知识盲区．

3%(1人)的学生认为既有必要又没有必要，其中有必要的理由是这是特定的题要用的方法，多元方法可以帮助做题，没有必要是因为一种方法足以覆盖大部分的题目．

(3)学生对点线距离公式的掌握程度.在课后学习单中，笔者设置了求两平行线间的距离和对点线距离内涵理解的题目，100%的学生都给予了正确的回答，说明学生对本节课的内容掌握得很好．

(4)学生对不同方法的认识.23%(7人)的学生在教师未引导前，没有想到任何推导点线距离公式的方 法；55%(17人)的学生最先想到交点法，这与课前预设相符合；还有9%(3位)的学生想到了面积法，3%(1位)的学生想到了平行线的距离(三角比)．在问到认为最 精彩的方法时，学生对向量法和面积法最为推崇，26% (8位)的学生觉得向量法结合了几何与代数，计算简便，而且将向量与距离结合了起来；32%(10位)的学生选择面积法最为精彩，理由如下：2位觉得面积法是自己先想到的，8位认为面积法来回变换得很巧妙，计算也比较简单．

当被问到本节课的收获时，学生觉得收获了不同的推导方法，拓宽了思路；掌握了点线距离公式、平行线间的距离公式．令人欣喜的是，在阐述对本节课的困惑时，部分学生不满足于历史上的这些方法，想寻找更好的办法，期待他们能再进一步思考，创造新的方法．

综上所述，多数学生对历史上的方法融入课堂持肯定态度，认为对拓展思维有帮助．所有方法中，大部分学生最先想到的方法是交点法，这与预期相符．最精彩的方法中，学生更愿意选择巧妙且计算简单的向量法和面积法．

5 结语

“点到直线的距离”这节内容不仅仅是得到了一个公式，公式推导的背后还蕴含了许多思想方法.因此本节课基于学生的认知基础，选取交点法、面积法、三角法和向量法四种方法进行讲解；在习题练习时，拓展了从函数的视角求点线距离的方法．采用复制式、附加式和顺应式将上述方法融入课堂，使得各种方法的出现既符合历史序和学生的心理序，也符合教科书“从向量到点线距离”的逻辑序．

从几何、代数、向量等角度推导公式，能较好地拓宽学生的思维，展示数学的方法之美，发展学生的直观想象和数学运算等素养，从而实现能力之助．正如学生所说，这些方法拓展了他们的思维，能促进知识的系统化．在探究公式推导的环节，教师指出学生想到的方法和历史上的一样，可以增强学生的自信心．通过学生的反馈，我们也惊喜地看到学生的思考并没有因为这节课的结束而停止，多种方法激起了他们不断追问的科学精神，彰显了数学史的德育之效．但由于本节课的内容比较丰富，所以在课堂上直接给出了向量法，学生思考的时间较少，本该让学生自己去探究，为他们营造探究之乐．

此外，HPM视角下的公式教学中，公式推导方法固然是重难点，但各种方法背后的人文故事和科学精神也可以适当渗透，从而更好地达到数学史德育之效的价值，这也正是后续教学中需要关注的问题．