费曼学习法教学模式设计——以函数为例

夏苏徽

(喀什大学数学与统计学院，新疆喀什，844000)

一、问题的提出

复习指的是对已经学习过的知识内容进行再认识。“复习”这一概念自古便有，如“温故而知新”。而在现代教学中，复习课是指以促进所学知识系统化为教学任务的课堂教学，以复习巩固和知识再生长为目的。它是课堂教学的一种基本课型，一般在一个知识单元、一个学期或者整个高中新课教学结束后进行。

(一)复习课的局限性

通过文献分析法可知，当下数学复习课主要存在以下不足之处。

1.教师对复习课课型意识不足

教学过程中，教师对复习课的课型特点把握不充分，对如何选取教学内容、如何将教学目标与教学内容结合起来等认识不足，常常将复习课等同于习题课。这是教师对复习课课型认识不足的主要表现。其实，复习课不同于习题课，也不是简单地重现知识和机械化练习，而是将知识结构、变式训练以及方法提炼有机统一的一种专门课型。[1]

2.学生主体地位缺失

王富英等的研究发现，在课堂复习教学过程中，教师将重点放在例题的精选及讲解上，教师的讲解时间占课堂教学一半以上的达76%，而且师生互动相当匮乏。[2]这样将无法体现学生的主体地位，学生的思考时间较少，学习积极性自然降低。

3.与课程目标相背离

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“新课标”)指出，数学课程教学应当培养学生发展所需的数学“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)和“四能”(发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力)。[3]新课标出台后，大部分教师主要关注的还是传统的“双基”(基础知识、基本技能)，不仅不重视在复习课提炼思想方法，帮助学生积累活动经验，而且不注重授人以渔，让学生学而不得法，使学生复习效率低下。

4.复习内容、方式、目标选取不当

教学过程中，教师多采取“整理+练习”的教学模式，先简单罗列复习内容，再辅以例题练习。[4]这种教学模式不仅方式机械、呆板，而且让学生没有思考和讨论的机会。学生对复习课提不起兴趣，在再学习过程中出现“一听就懂，一做就错”的现象。

(二)研究目的

鉴于上述现象，笔者先对数学复习课、相关教育理论与文件、费曼的学习方法进行整理，然后结合自身思考，基于费曼的学习法设计数学复习课。该复习课的设计目标如下。

1.复习课课型架构

根据新课标的要求，国家对高中数学课程的认识逐渐深入，“双基”变“四基”、“三能”变“四能”课程目标的改变，使数学教学逐步以核心素养为导向。[5]在此背景下，传统的数学复习课的课型架构亟待发展。新课标背景下的复习课，应由传统的以“双基”为本的“知识复现+变式练习”方式向以“四基”为本的“知识重构+经验获取+方法凝结+练习巩固”转变，在注重传统的基本知识技能的同时，注重学生活动经验的积累以及思想方法的总结。

2.复习课课堂环境架构

构建师生平等的数学课堂，充分发挥学生主动建构的能动性。数学建构主义强调知识的主体建构性，数学知识的获取需要学习主体在已有知识的基础上通过自身活动以及教师有意引导而主动建构。[6]教师营造学生热烈讨论的氛围，能将学生讨论过程中产生的意见归于统一的大家普遍认同的一般概念。弗赖登塔尔认为，通过自身主动认知而获得的知识技能具有更强的实用性，能够更持久地保持在记忆中，远比他人直接灌输的被动学习的效果好。“再创造”的学习方式包含了发现过程，能够激发学生的学习兴趣和学习动力，让学生体会到数学作为一种人类活动而展现的美丽。[7]

3.复习课教学设计构建

复习课是对所学知识再学习的一种方式，但内容的选取上不能仅是所学内容的复现。因为有限的时间内复现所有知识的“大乱炖”行为只会增加学生负担，所以复习课内容的选取应以学情为基础、以核心素养为导向，进行知识重构。教师通过“旧知新讲，师生互动”的教学方式，带领学生从宏观角度把握系统知识。相较于新课中教师对知识概念的基础性讲解，复习课侧重于在此基础上进行思想方法的总结，构建问题驱动的情境，引领学生积累活动经验、凝练认识策略。[8]

二、基于费曼学习法的数学复习课建构

基于费曼学习法设计的复习课，主要包括七个过程：内容重构、问题阶段化、非系统化呈现、系统化架构、习题巩固、干预引导、认知策略渗透，如图1所示。

图1 费曼学习法复习课的授课模型

内容重构是指将知识进行重新编排而适应复习教学。在复习课开始之前，教师基于学生的学习情况，结合新课标的要求和高考趋势，以“四基”为生长点来选取内容。问题阶段化是指将本节课的教学目标划分为层层递进的阶段性问题，降低学生的学习难度并让学生逐步体会认知过程。从维果斯基的儿童心理发展理论看，教学应当以适当难度呈现，让学生在最近发展区内得到发展。[9]因此，为了让学生能够合作探究出目标内容，教师应将问题内容进行阶段性划分，让学生逐步深入探究。非系统化呈现是指学生对教师问题的零散回答。当提出一个阶段性问题后，教师带领学生思考讨论，鼓励大家相互辩证，而学生则从多个角度对问题进行解答。教师在达到一定的教学目标后再提出下一个问题，逐步将零碎的知识统一成完整的知识结构，从而构建系统化的知识结构。习题巩固是对学生学习成果的一种检测，主要以练习题的方式检验学生的思维过程是否正确。值得注意的是，教师的干预指导以及认知策略的渗透应该全程与前五个过程结合。为了保证课堂效率以及讨论结果朝向一定的目标，教师要实时关注学生的讨论，及时进行干预。在干预过程中，教师要结合学生的认知过程，适时渗透认知策略，让学生更直观地感受思维认知过程，培养自学能力。

核心素养导向的数学复习课，既具备传统复习教学查漏补缺、习题演练、知识系统架构的基本特点，又具备适合核心素养培养的特性。首先，是学生主体课堂构建。指向核心素养培养的复习课，更像是一节由教师提出问题、学生进行讨论的讨论课。通过讨论，学生将对同一个问题产生不同的看法。无论这些看法是否正确、是否全面，都将由学生判定，教师从旁引导。如此，学生的理解逐渐趋于统一，最终得出一个普遍被接受的结论。在此环节，教师的引导至关重要。教师虽然是讨论的发起者，提出问题引发大家的讨论，但教师要时刻关注学生的思考过程，在讨论陷入僵局时适当进行干预和引导。除此之外，教师还要适当总结学生的讨论结果，帮助学生在主动构建的基础上更清晰地展现知识结构。其次，是数学思想主动构建。数学与其他文化课程不同，无法通过对概念的背诵、记忆能学好。高中数学课程不仅要培养学生的数学基础知识、基本技能，而且要培养学生的基本思想、基本活动经验以及发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。所以，复习课环节应当弱化对知识概念的机械识记，强化对活动经验的积累以及对知识的主动建构，将对概念的理解过程融入学生的讨论、探索过程中，促进学生对知识概念进行有意义的学习。最后，教师应该对学生的认知方式、学习策略进行指导，培养学生的自学能力。

三、以函数复习课为例

新课标指出：“函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥着重要的作用。函数是贯穿高中数学课程的主线。”函数在培养学生利用数学语言进行数学学习、认识变量两方面具有重要的教育价值。[10]而函数本身的复杂性以及中学生现有思维发展水平的制约。[11]函数思想一直是教学的重点和难点。

(一)教材分析与学情分析

人教版(必修一)高中数学将基本初等函数的学习分为三部分：第一部分是学习集合和函数的基本概念；第二部分是基本初等函数(Ⅰ)，包括对数函数、指数函数、幂函数；第三部分是由前两章理论知识的学习进入第三章函数的应用学习，教会学生利用基本初等函数解决问题。教学过程中常常会出现两种情况：一是学生无法将学习基本初等函数的方法迁移至由基本初等函数复合的新函数上；二是依据实际问题建立函数模型后，学生无法快速有效地选择合适的角度来获取有效信息。为了解决这些问题，教师应该将教学重点放在研究函数性质的方法策略上。

(二)主要环节与设计意图

1.阶段一：回顾与呈现

现给定三个函数，y=2x，y=log2x(x>0)，y=x2，一起思考并讨论以下问题：

(1)从这些函数中你能得到哪些信息？

(2)你是如何获取这些信息的？

本环节主要是对已学知识的复习，教师在学生学习初等函数及其基本性质的基础上，给定几个具体的函数，让学生自选角度探究函数的性质，如函数的单调性、奇偶性、最值问题、定义域、公式结构特征区别，等等。然后，问题(2)主要展现的是学生的信息获取路径(图像法、定义法等)。随着讨论和探究的深入，学生不断积累活动经验，非系统化知识趋于完整。

2.阶段二：特殊到一般

(1)以上函数分别属于我们学过的什么函数？

(2)这些函数的一般通式如何表达？

(3)大家想想，如果给我们一个函数，我们可以通过哪些方式来获取信息。

本环节是基于学生关于具体函数性质研究非系统化呈现的，主要是在教师的干预和引导下，将问题一般化，由学生探讨一般初等函数的表达式、研究角度、研究路径。结合上一阶段对具体函数的研究，学生进一步探讨指数函数、对数函数、幂函数的一般化研究路径(一般表达式、定义域与值域、单调性、定点问题等)。

3.阶段三：系统化

给定两个新函数：

先观察，然后说一说：

(1)这两个函数与我们之前讨论的函数属于同一种函数吗？

(2)如果不是，这个函数跟前几种初等函数有什么关系？

(3)类比刚才初等函数的研究方法，如果想获得关于这个函数的信息，我们应该从哪些角度、用什么方法获取？

(4)尽你所能，能够获得哪些信息？

本阶段将问题上升到复合函数，学生在从具体到一般归纳函数性质研究路径的基础上，通过横向类比初等函数，探讨一般函数(如复合函数)的性质研究路径(研究角度和研究方法)。此阶段的目标是学生学会运用图像法、定义法等研究方法，从定义域、值域、单调性、奇偶性、最值存在性、定点存在性等角度对一般函数进行探究。通过教师引导，学生逐步提出函数性质研究的路径策略(如图2)。

图2 函数性质研究路径策略

4.阶段四：巩固与总结

(1)若函数f(x)=ln(e3x+1)-ax是偶函数，求a的值。

A.函数定义域是R

B.函数值域是R

C.函数是偶函数

D.函数在定义域上是增函数

①求a，b的值。

②证明函数f(x)在[2，+∞)上是减函数。

本阶段是对前三个阶段知识系统化的一个检验与总结。教师先给学生独立解题的时间，然后在讲解的过程中以一般函数性质研究路径策略为依托，带领学生依据路径策略选取适当方法来获取所需答案。教师以此巩固知识，使学生熟练运用数学思想方法。

四、结语

本文通过文献分析法总结了目前中学复习课存在的问题，并以新课标的要求和建构主义教学理论为出发点，引入费曼学习法，对复习课的课型结构、课堂环境、教学设计进行建构，将时下的数学复习课由“双基”向“四基”拓展，构建以学生为主体的复习课教学模式。以函数为例，本文展现了基本活动经验和基本思想在教学中的具体运用。然而，教师传统教学理念与新课标要求的数学理念之间的脱节性存在于所有课型中，基于费曼学习法的教学理念如何与其他课型结合，仍需更深一步地研究。