具有时滞状态导数反馈的高阶多智能体系统的一致性

2020-10-16晋守博

通化师范学院学报 2020年10期

晋守博

近年来，多智能体系统的研究受到了广泛关注，该系统的优点在于能够较好地描述复杂的集体行为，如鱼群的游动、无人机群的控制以及计算机网络控制等.一致性是多智能体系统最重要的性质之一，为了使所有智能体随着时间变化能够达到一致，最关键的问题是构造控制策略.对多智能体系统的一致性的研究是目前的一个热点，针对如何实现系统的一致性，文献［1］和文献［2］分别从数值模拟和理论证明方面作了分析，多智能体系统是一种比较特殊的复杂系统，它的稳定性与系统的通讯时滞具有密切关系，近期许多学者都在研究时滞对系统的影响，针对低阶系统，文献［3-5］对该问题作了详细地讨论；针对高阶系统，文献［6-7］设计了一种仅依赖位置状态的控制策略，分析了系统的一致性问题.三阶多智能体系统可以表示如下：其中：i∈I，I= {1,2,…,N}表示智能体的数量集，函数xi(t)，vi(t)，zi(t) ∈R 代表位置、速度和加速度，函数ui(t) ∈R 是控制输入变量.

与一阶、二阶多智能体系统相比，系统（1）更加复杂，不仅能够描述智能体的位置和速度状态，而且能够描述加速度的变化情况［8-9］.目前，对于高阶多智能体系统，大部分学者设计的控制策略里既包含位置状态，又包含速度和加速度的状态，然而，现实中智能体的速度和加速度很难测量，对于没有装备速度和加速度传感器的智能体，需要设计仅含有位置状态的控制协议，LIU 等讨论了只含有位置状态控制的二阶多智能体系统，我们将在如下控制策略下研究系统（1）的一致性，

其中：常数β> 0，代表着反馈强度，aij为邻接矩阵的元素，能够反映出系统的网络拓扑结构，Ni表示与智能体i有关联的智能体集合，τ用来表示通讯时滞.

式（2）是一种包括反馈强度的控制协议，下文称协议（2），该协议最早在文献［10-11］中被提出，针对低阶情况，文章分析了反馈强度对一致性的影响，本文将把协议（2）用到更加复杂的三阶系统上.另外对于三阶多智能体系统，协议（2）仅含有位置状态，更具有现实意义，本文将结合文献［9-12］的方法，首先对xi(t-τ+β)做近似替换，计算公式为xi(t-

代入式（2），得到具有时滞状态导数反馈的一致性协议（3）

其中：β> 0 表示时滞状态导数的反馈强度，一般地，β越接近0，协议（2）和协议（3）的近似度越高，与文献［9］相比，协议（3）具有更强的实用性.

1 主要研究结果

定义1 如果对所有i,j∈I，系统（1）在任意初始条件下都满足0，则多智能体系统（1）称为渐近稳态一致，

本文将在无向拓扑结构下，研究系统（1）的渐近稳态一致性.

引理1［12］记L为系统的拉普拉斯矩阵，则当系统（1）的拓扑结构图无向且连通时，L必定有一个零特征值，特征向量为1N=(1,1,…,1)T，其他特征值实部都大于零.

引理2［9］如系统（1）在协议（3）下的渐近稳态一致性，则对任意i∈I下式成立.

为了研究系统（1）在协议（3）下的一致性，记ξ(t) = (x1(t),v1(t),z1(t),…,xN(t),vN(t),zN(t))T,则式（3）可变为

表示拉普拉斯矩阵，下面给出本文的主要结论.

定理1 对于多智能体系统（1），如果它的拓扑结构图是无向且连通的，则在协议（3）下，当且仅当

时，系统能够实现渐近稳态一致，这里的w为方程

的根.

证明利用引理 2，取E(t) =ξ(t) -式（5）经过计算后可得

由引理1 可知，L的特征值可以记作λ1=0，0 <λ2<λ3< … <λN，而且必定可以找到一个正交矩阵W，满足

再利用引理1 中的特征向量是1N，则在系统（7）两边乘以WT⊗I3可得

从上面分析可以看出，系统（7）的一致性与方程（8）的渐近稳定性等价，从而只要保证方程（8）的特征值全部在开的左半平面即可.

下面利用频域分析法证明方程（8）的特征值全部落在开的左半平面上.首先对方程（8）两边求拉普拉斯变换，可得

经过计算后可得

为了确保方程（8）的根在开的左半平面上，只要对任意i∈I/{1}，方程

则

奈奎斯特稳定性判据是判定系统稳定性最常用的方法，此处将采用该方法分析方程（10）的稳定性，目前有很多学者都在采用这种方法证明稳定性问题，本文的核心思想也是该方法，关于该方法的更多应用可以参考文献［9］，本文为了使得方程（10）的根全在开的左半平面，根据该稳定性判据，只要奈奎斯特曲线gi(jw) 不包围点(-1,j0) 即可. 另外，不包围点(-1,j0)的充要条件是