基于Mathematica 的函数连续性的教学实践研究

高忠社

在高等数学教学中使用数学软件Mathematica，可以实现和验证一些抽象的问题，有助于学生深刻理解和掌握这些抽象的数学知识［1-3］.笔者从教学实践中发现，学生对函数的连续性的定义较长时间无法理解，而函数的连续性是高等数学中的一个重要概念，也是学生在学习数列极限、函数极限之后，需要很好掌握的重要概念，函数连续性概念的掌握情况，对后续导数、积分、函数项级数等知识点的学习都会产生较大影响［4-7］.

由于学生对于任意性、极限的过程等问题没有完全理解，因而在学习过程中会产生一系列的疑问，为什么函数的连续性要取决于函数在任意一个点上的连续？为什么函数y=f(x) 在任意点x0满足了或时，函数在该点就连续等等.学生很难理解这些抽象的概念，学生这时可以借助Mathematica 软件的图像功能，尽可能的通过实例直观分析函数的极限过程，以及函数值的情况，通过这种直观的分析帮助学生理解函数的连续性［8-9］.

因此，在教学实践中对于一些抽象的概念的讲授中，可以适当使用数学软件来直观分析实例，帮助学生理解这些抽象概念.下面将对一元函数的连续性、左连续、右连续、间断点；二元函数的连续性等问题分别使用数学软件Mathematica 结合实例进行分析.

1 一元函数的连续性与Mathematica

高等数学中对于连续性的引入是这样的，“自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等等，都是连续变化的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性”，但是学生对这样的描述难以理解.而对于函数在一点的连续性是按如下方式进行定义的.

1.1 函数在一点连续的定义

定义1［1-2］函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果

这是一个抽象的概念，即“当自变量的增量趋于零时，函数值的增量也趋于零”，则函数在点x0处连续.由于学生对函数极限定义还没有很好掌握，而函数的连续性需要使用函数的极限来定义，使得有些学生觉得难以理解，进而对这类抽象性的概念的学习慢慢的失去了信心.如果在教学实践中通过一些直观的实例帮助学生理解这种概念，学生将会产生学习兴趣.

如果引入适当的例子，使用数学软件Mathematica 进行适当的直观性分析，会取得更好的教学效果，如：

例1 验证函数y= 4x2+ 3x+ 1 在x0= 0的连续性.

分析：学生在中学阶段对该函数已经很熟悉，函数的图像为抛物线，是一条连续曲线（见图1），因此在x0= 0 处是连续的.使用定义1 验证.

故函数y在x0= 0 处连续.

Mathematica 命令如下：

图1 4Δx2 + 11Δx →0(Δx →0 )的图像

从 图1 可 以 看 出，当Δx→0 时，4Δx2+11Δx→0，满足定义，因此函数在x0= 0 处连续.

通过对图像的直观表示，加深了学生对于函数连续性概念的理解，同时也加强了对函数极限定义的理解.

定义1 又可表述如下：设函数y=f( )x在点x0的某一邻域内有定义，如果则称在点x0连续.

1.2 左连续及右连续概念的分析

在高等数学教材中同样定义了函数左、右连续的问题，定义方式如下：

利用左、右连续的定义对例1 继续进行讨论，通过Mathematica 作图，观察发现，函数在x0= 1 处的极限，当x→1+,x→1-时，函数的极限即函数在x0= 1 处连续.函数图像如图2 所示.

Mathematica 命令如下：

图2 函数4x2 + 3x + 1 极限值等于函数值的图像

1.3 函数在区间上连续的定义

如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续，则称f(x)在开区间(a,b)内连续；如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续，在点a右连续，在点b左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.

上面的这些定义都是用极限定义的，对于学生来说仍然是比较抽象的.因此，教学实践中需要一些具体实例来分析这些抽象的问题，下面将通过具体实例来分析函数在整个定义域区间上的连续性.

Mathematica 命令如下：

图3 函数f(x)在x=0 处连续的图像

2 函数的间断点

①在x=x0没有定义；

②虽在x=x0有定义，但不存在；

③虽在x=x0有定义，且存在，但

间断点x0通常分为两类. 如果左极限及右极限都存在，那么x0称为函数的第一类间断点.包括可去间断点和跳跃间断点.当时为可去间断点，当时为跳跃间断点.如果左极限

图4 间断的分类

对于这样抽象的定义，需要给予具体的详细的实例，图文并茂的来解释这些不同的间断点，使用数学软件Mathematica 配合教学实践，通过图像来分析.

例3 验证x= 0 为函数的可去间断点.

Mathematica 命令如下：

图5 函数f(x ) 在[-2,2]的图像

从图5 可以看出，函数y=f(x)在x= 0处，左、右极限都存在且相等，但是极限值不等于函数值.根据定义，该点为可去间断点.使用Mathematica 作图，使得学生更为直观的发现可去间断点的特征，更深刻的理解可去间断点的定义.

在x

使用数学软件Mathematica 绘图图像如图6 所示.

Mathematica 命令如下：

图6 函数在x0 = 0 邻域内的图像

例5 讨论正切函数y= tanx在处的间断点类型.

解 因为y= tanx在处无定义，且所以为函数tanx的无穷间断点.函数图像如图7 所示.

Mathematica 命令如下：

图7 函数y = tanx 在[-π,π]的图像

从图7 可以看出，函数y= tanx在处及的点处都趋于无穷，因此，这些点均为函数的无穷间断点.使用数学软件Mathematica 作图，观察该图像，就能使得学生更为深刻的理解无穷间断点的定义.

Mathematica 命令如下：

图8 函数在[-0.3,0.3]的图像

3 二元函数的连续性

二元函数z=f(x,y),(x,y) ∈D⊂R2的图像是空间曲面或曲线，对于空间想象能力不强的学生来说，对于这些空间图像的理解有一定的困难，有时需要使用教学辅助手段.由于教具已经慢慢淡出了教学过程，教学辅助手段需要借助于数学软件、多媒体等手段来实现，帮助学生理解一些抽象的，或难以想象的曲面相交所产生的图像.文献［4］中介绍了使用数学软件Mathematica 分析二元函数的连续性的方法，下面将分析这些方法在教学实践中如何具体的应用，以及如何取得更好的教学效果.

在高等数学教材中，二元函数的连续性定义和一元函数类似.

定 义2［1-2］设 二元函数z=f(x,y),(x,y) ∈D⊂R2，P0定义为D⊂R2的聚点，且P0∈D.如果则 称 函 数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)连续.

如果函数z=f(x,y) 在D的每一点都连续，那么就称函数z=f(x,y)在D上连续，或者称z=f(x,y)是D上的连续函数.

定义3［1-2］设函数z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的聚点.如果函数P0(x0,y0)在点P0(x0,y0) 不连续，则称P0(x0,y0) 为函数f(x,y)的间断点.

例 7［1-2］讨论函数f(x,y) =

在(0,0)的间断点类型.

解 易知函数f(x,y) 的定义域D= R2，(0,0) 是D的 聚 点.当(x,y) →(0,0) 时，函 数f(x,y)的极限不存在，所以点O(0,0)是该函数的一个间断点.

当在教材中遇到这样的问题，有些学生很难理解，无法想象该图像是什么样的.如果在教学实践中能够给出该函数所表示的图像，给出函数在(0,0)的形状，能更好的帮助学生理解该问题；利用Mathematica 的Plot3D命令绘制出图像，图像如图9 所示.

Mathematica 命令如下：

图9 函数z = f(x,y)在［-2，2］×［-2，2］的图像

从图9 可以看出，函数z=f(x,y)表示的曲面在点（0，0）出现“裂口”，而且上下陡峭，意味着，即使在（0，0）补上f(0,0) = 0，仍然不足以弥补曲面上这个“大裂口”，从直观上，函数f(x,y) 在点（0，0）处不连续，曲面在点（0，0）附近即出现了“山脊”和“山堑”，当动点(x,y)沿“山脊”路径y=x趋于定点（0，0）时，极限当动点（x,y）沿“ 山 堑”路 径y= -x趋 于 定 点（0，0）时，两者不相等，则极限不存在，由函数连续的定义可知，函数f(x,y)在点（0，0）处不连续.由例7可以看出，用图像法判定和讨论二元函数z=f(x,y)的连续性，直观而真实，能透过现象直达本质，具有纯理论的抽象研讨无法媲美的优点，但也有一定的局限性［4］.

对于二元函数z=f(x,y)的图形空间的曲线或曲面，在实践教学中很难使得学生理解其中的一些抽象的性质、图像等，如果在实践教学中借助于多媒体技术，数学软件等，给予学生展示其图像，曲面的切平面、法线，曲线的切线、法平面以及多个曲面相交产生的空间图像，可以更好的帮助学生理解该函数的性质，如连续性及一些抽象的概念.

4 结语

文中结合一元函数、二元函数的连续性定义、一元函数的各类间断点，结合笔者自己的一线教学实践经验，学生在学习这些知识点中遇到的困难、疑惑，分别对间断点的每一种情况，给出了具体实例，结合Mathematica 作图分析，且给出了相应的Mathematica 作图命令.对于二元函数的连续性问题，结合教材中的定义，以及文献［4］中给出的观察法，文中也给出了典型实例进行了分析，给出了图形和作图的命令.在教学实践中使用Mathematica 作图并进行具体分析，有助于学生很好地理解一些抽象的高等数学问题，进而取得良好的教学效果.