分数积分下的关于m-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式 *

徐 冬，叶小彩，黄敏杰，邱克娥

(贵州师范学院数学与大数据学院，贵州 贵阳 550018)

0 引言

1 预备知识

记I为实数集R上的一个子集，I0为I的内部，Rα为分形空间上的实数集合，若aα,bα,cα∈Rα(0<α≤1)，则在Rα中代数运算[5,6]满足：

(1)aα+bα∈Rα，aαbα∈Rα；

(4)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α；

(5)aα(bαcα)=(aαbα)cα；

(6)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα；

(7)aα+0α=0α+aα=aα，且aα1α=1αaα=aα.

定义1[5,6]设g:R→Rα,x→g(x)是一个不可微函数，如果对任意的ρ>0，总存在σ>0(其中ρ，σ∈R)，使得当|x-x1|<σ时，有|g(x)-g(x1)|<ρα，则称不可微函数g(x)在x1处局部分数阶连续。如果g(x)在区间(c,d)上局部分数阶连续，则记为g(x)∈Cα(a,b).

定义3[5,6]g(x)∈Cα(a,b),a=t0

定义4[7]设R+=[0,+∞]，函数g:R+→Rα，对任意的x,y∈R+,t>0，有不等式g(tx+m(1-t))y≤tαg(x)+m(1-tα)g(y)成立，则称g为定义在R+上的广义m-凸函数(0

x(k-1) α；

引理4[4]设a

(1)

2 主要结果及其证明

(2)

证明：对(1)式用幂均值不等式有

(3)

(4)

由引理2可知

(5)

(6)

同理可得：

(7)

(8)

(9)

将(5)～(9)代入(4)式，并注意到

(10)

经计算简式可得(2)式，证毕。

(11)

(12)

同理：

(13)

(14)

(15)

将定理1的(4)、(10)以及(12)、(13)、(14)代入定理(9)式，经计算简式可得(11)式，证毕。

则下列带有局部函数积分的不等式成立：

(16)

证明：对(3)式

(17)

再由引理2可得

所以

(18)

同理有

(19)

(20)

(21)

将(18)～(21)代入(17)中，通过计算化简可知(16)式成立，证毕。