指向深度学习的高等数学教学探索 *

2020-10-15张俊超

贵州师范学院学报 2020年6期

张俊超，陈威,王君

(1.哈尔滨学院信息工程学院，黑龙江哈尔滨 150086； 2.哈尔滨学院教师教学发展中心，黑龙江哈尔滨 150086)

1 问题提出

大学教学的本质要义不再只是满足学生学会什么，更多的是关注学生是否“会学习”。然而目前高等数学教学却并没有达到这一目标，学生对于形式变但本质不变的问题解决更是欠佳。究其原因，主要有以下三个方面：(1)教师一言堂的讲授，导致师生、生生之间缺乏对高等数学概念本质的深入思考。由于对前人研究成果的一味崇拜，导致创新和批判思维极具弱化[1]。知其然，却不知其所以然，更不知何由其知其所以然，导致学生对数学对象的获得路径、研究方法和学科思维缺乏感悟，浅表性学习频繁出现。(2)高等数学抽象化特点导致教师过多地关注形式化推理的讲授，往往会降低学生从具体化到符号化再到形式化渐进深入的思考。久而久之，形式化推理的知识就变成一个个孤立的节点，形成“只见树木，不见森林”的学习状态，碎片化的知识之间缺乏必要的关联，因而学生的学习迁移能力就较弱[2]。(3)数学知识内部严谨的逻辑推理固然重要，而跳出知识本身进行问题解决则是衡量学生能否学以致用的重要标尺。生活中散落的大量非良构问题的解决很大程度上导致学生脉络化的记忆和创生性理解难以平衡，由此阻碍了知识的提取与方法的迁移[3]。

2 深度学习

深度学习的概念是1976年由美国学者Ference Marton等率先提出，随后我国学者何玲[4]、焦建利[5]等对深度学习本质特点进行阐述。此后，对深度学习多角度的分析与阐释也促成了百家齐放的景象：有基于特征的分析，如杜鹃等人[6]的信息整合、批判思维、知识建构、促进迁移和问题解决，郭华[7]的联想与结构、活动与经验、本质与变式、迁移与应用、价值与评价五大特征研究；有基于素养的分析，如NRC划分的认知、人际和自我三大领域；有目标分类解释，如段金菊[8]、张浩等人[9]依托于布鲁姆教育目标分类学；也有内容构成及结构绘制方面的探索，如胡航[10]等人对深度学习中的核心要素确立为学科知识、策略知识、社会技能、认知结构，并绘制了蘑菇状结构图等等。由此不断拓宽学习边界，充盈学习深度[11]。尽管如此，深度学习的本质思考仍然围绕“建立联结，有效迁移”来展开[12]，凸显出深度学习大格局、宽视野、悟思想、抓本质、激节点、活运用、思创新的客观规律。

基于以上研究及对深度学习的研究思考，高等数学的深度化学习应首先以营造和谐的“新联结文化”为基底，以创造生生、师生、学生与社会之间和谐的学习文化氛围作为实现知识互联的保障。其次，数学的三个世界理论将数学的深度学习从“具体化世界”经“符号化世界”推进到“形式化世界”。最后，问题解决策略把握了交互式学习环境下深度学习的主旨，将有意义的脉络化记忆、整体性记忆与可持续推进的观念性理解、创生性理解有机结合，促使知识的有效提取与方法的自然迁移。

3 指向深度学习的高等数学教学探索

3.1 以新联结主义为指导促进师生深度交互

新联结主义是神经网络实行平行分布式知识表征的总称，简称PDP模型。它对认知过程的理解突出表现在以下三个方面：(1)认知过程可以被看成一个鲜活的动态网络系统。在这一系统中，大量的知识单元相互关联、相互作用，由简单单一的小单元相互联结，逐渐形成更大的联通网络。(2)认知过程是大量神经元相互联结并有效调整的过程，其中兴奋性神经联结和抑制性神经联结交织并存，学习则要在这种不断调整的过程中打破原有的旧的联结从而建立新的平衡[13]。(3)认知过程可按照信息输入、信息激活、信息提取和建立联结四个步骤加以完成。作为认知过程的外显行为，新联结主义下的教学模式主张学习者在教师精心铺设的探究情境中展开思索，结合自身原有经验对新情境中出现的问题进行尝试性的猜想、假设和验证。教师则更多地关注学生猜想的逻辑是否可靠，假设的观点是否可以得到验证，解决问题的方案是否可以引发更深入的探讨，问题的递进是否促成了知识关联以及思维的进阶。帮助学生不断探索新知的同时激发学生思考问题的动机，增强学习的自信力。除此之外，合作学习在新联结主义观点下尤其突出。互动交流使得多数学生能够获得更好的学习体验和深入探究的动力[14]。

例如：运用新联结主义模式进行“函数的极限”概念教学。函数的极限是微积分中一个非常重要的概念，不仅体现在它是后续知识的基础，更重要的是从数学史发展历程来看，函数概念的推导经历分析的泛化、严格化和算术化三个阶段，即从定性化描述到定量化描述逐渐进阶的过程。学习函数极限概念是帮助学生定量形式化理解和描述高等数学概念的重要时机。我们对函数的极限定义做如下问题设计：首先提出问题：当x→x0时，对应函数值f(x)是否无限的趋近一个常数A？(信息输入)如果趋近一个常数A，那么，接着进行逐级的数学化描述：这句话等价于“当x→x0过程中，|f(x)-A|能任意小”(激活概念，柯西的函数极限定性化描述)。既然任意的小，要多小有多小，那么如何来描述“任意小”这句话(深度激活联结)？即对任意给定的正数ε>0 ，|f(x)-A|<ε就描述了“任意小”(维尔斯特拉斯的定量化描述)。原有问题肯定的回答就等价于：当x→x0过程中，对任意给定的正数ε>0 ，|f(x)-A|<ε(完成一级定量化描述的目标)。那么，当x→x0过程中，哪些x能使|f(x)-A|<ε呢？只有充分接近x0的那些x才可以。因此新的定量化描述又出现了，如何描述“充分接近x0的那些x”这句话呢？(信息再次输入)即存在无限小的正数δ>0，0<|x-x0|<δ就定量化的描述了这句话(类比迁移，深度联结)。至此，两次定量化描述全部完成，并且第二次可以通过第一次类比迁移得到，最后正向形成概念。

这个过程中，教师不断激发学生认知结构中的相关结点，从历史发展脉络逐渐增强学生探究的欲望并使其主动建构知识体系，增强思维能力。英国Warwick大学教授David Tall将传统教学模式、发现教学模式、联结主义教学模式作对比试验，数据显示联结主义教学模式教学效果最明显，验证了该模式能充分调动师生两方面的积极性。

3.2 以数学三个世界理论指导学生理解概念、推理和求解

英国Warwick大学教授David Tall于2004年以认知主义、建构主义为基础，融合认知科学、新皮亚杰主义等研究成果提出了数学的三个世界理论[15]。

具体化世界注重个人感觉，学习者通过与所在环境发生交互从而在感知事物的同时，自觉形成具体化语言描述，进一步通过较为规范的数学语言形成概念确切的意义。符号化世界是具体化世界的深入发展，也是深入研究数学的必然需求。数学简洁性的特点和严谨的思考方式促成了符号化世界的形成。通过符号的使用实现了数学问题解决，进而再上升到更高一级的数学思考，促进数学向纵深发展。形式化世界通过高度抽象性促使概念命题获得形式化定义，不再满足归纳式的猜想，更多地注重严谨的证明和形式化的演绎。三个世界从最初对环境的感知为基础逐渐过渡到以对象特征为基础。该理论弥补了APOS理论不能合理解释形式化推理的缺陷，为形式化推理证明提供了理论依据[16]。

Tall 认为，人的认知过程是以“前集”与“前变量”为基础，经数学的三个世界获得发展的。“前集”即学习的原有认知结构。识别、重复、语言三种前集方式对如何形成长期学习过程中的认知发展起着关键性作用[17]。“前变量”即原有认知结构中的联结，包括联结的程度与范围。在教学之初，教师应首先了解学生已有的“前集”水平和已经建立的“前变量”。以《连续》这节课内容为例，学生学习该部分的“前变量”是：通过前面的学习已经初步了解了极限概念，对连续概念有了初步的感知，但是形式化推理的训练与应用不足。学生的“前集”水平是：已经开始识别形式化理论，能用形式化语言表示简单概念，具备了一定的抽象水平，但还远远不够。

该理论提倡利用直观的动态图象理解形式化抽象概念，要求用计算机进行课堂教学。在《连续》一节内容课堂教学中，在借鉴国外改革经验的基础上笔者作如下设计：在电脑屏幕上任意画一条曲线，用鼠标拖拉直至水平但未断开，我们就可以说这段曲线是连续的。如果在电脑屏幕上曲线断开，则说明曲线是间段的。在一个高分辨率的电脑屏幕上，假设图象上中间一点为(x0,f(x0))，像素高度为±ε，为了把图象拉成水平需要找到一个δ>0，当x位于x0-δ与x0+δ之间时，f(x)位于像素f(x0)-ε和f(x0)+ε之间。这就是严格的函数在某点处连续的形式化定义：“给定像素高度为±ε，找到一个δ>0，对于给定x0，如果x存在于x0-δ和x0+δ之间，则f(x)存在于f(x0)±ε范围内”。用这个方法证明函数在某点的连续性。

3.3 以问题解决策略推进实验课教学

在1988年国际数学教育大会(ICME)上，把“问题解决，模型和应用”列为七个主要研究课题之一。即便进入21世纪，问题解决策略依然是国际数学教育研究的热点。我国也不例外，虽然与国际相比，问题解决教学自上世纪90年代才开始起步，但至今依然对问题解决进行着不同侧面、不同视角、不同范围的研究，深究内涵，扩充外延，重在学生发散性思维、创造性思维及批判性思维的培养，以及发现问题、提出问题、解决问题能力的提升。问题解决策略常采用以下几种方式：一是以“专题”方式学习相关建模知识；二是简单现实问题的建模设计，利用所学数学模型，通过学生自主设计与教师指点相结合的方式解决常见模型；三是历年数学建模问题训练，采用分组交流的方式设计出不同方案；四是与社会发展密切相关问题的建模设计，让学生了解社会，掌握基本的科学设计技能。教师需根据实际情况和需求灵活选择。

结合高等数学教学的实际，笔者构思出如下实验设计过程：第一阶段：创设问题情境。德国教育家第斯多惠说过：“教育的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”因此在这一阶段中，情境的创设应突出提出问题的可能性和易于创新的知识点。第二阶段：数学化。生活中的诸多问题往往是非良构的。利用高等数学相关知识去解决实际问题时往往会经历生活到数学内部的横向数学化，以及数学内部的纵向数学化，两者缺一不可。能否有效的实现横向数学化是解决实际问题的关键。第三阶段：再创造。荷兰教育家弗莱登塔尔反复强调，学习数学唯一正确的办法就是实施“再创造”，即学习者通过教师创设的情境对问题赋予自身的理解，从而自主去发现并创造出来[18]。微积分中的诸多知识都需要通过再创造而获得。具体做法是：在实验课上让学生充分感受问题产生的背景，让学生自主探索发现相关概念及原理，暴露思维过程，达到理解与应用的目的。同时也改变大学生直接获取知识的错误观点[19]。第四阶段：把建模作为数学实验的主要内容。英国教育家怀特海曾经说过“数学就是对模式的研究”。数学建模较之数学化而言，更注重数学模型的前提假设、数学模型的抽象和提炼以及求解模型和检验模型的过程。数学实验课首要的是让学生会使用Matlab软件，达到对课本内容的再创造。以定积分解决不规则图形面积为例，教师可以利用Matlab软件指导学生对图形进行分割，以规则图形的面积来代替每一小块不规则图形的面积。在分割的过程中，学生可以观察到分割次数的多少直接影响这些分割图形的近似面积之和与图形实际面积的差异大小。通过对图形无限分割，继而求和取极限，让学生发现一种不同于中学的离散的求和方法。以规则图形代替不规则图形，以有限代替无限，以有限和代替无限和，最终通过数学建模来完善知识建构和深度思维的能力提升。