例谈高中数学建模教学与学生核心素养的发展

秦江

【摘要】数学建模的认知与发展可划分为四个阶段：感知模型阶段、 理解模型阶段、构建模型阶段与迁移应用模型阶段。本文以均值不等式这一重要数学模型建构为例，具体阐述了数学建模教学与学生核心素养发展的必然联系。

【关键词】数学建模   均值不等式   感知模型   理解模型   构建模型

数学教学着眼于学生的终身发展，数学教学的过程应体现学生核心素养的形成与发展。数学知识与方法的落脚点是什么？就是数学模型，因此数学建模教学是培养学生核心素养的重要内容。数学模型使得数学从理论回归于现实背景，架起了数学知识与现实背景的桥梁，是数学应用的重要形式，从而也是我们数学教学实现学生核心素养形成与发展的重要渠道。

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程，主要包括：在实际境遇中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决现实中的同类问题。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。数学建模问题应贴近实际生活，有较强的趣味性、灵活性，能激发学习兴趣，触发不同层次、不同水平学生的创造性，使学生形成一定的实际经验和解决问题的能力。经历过程、体验成功、感受经验是数学教学的最高境界，也是学生核心素养获取提升的重要渠道。

基于对数学建模的上述认识与多年的教学实践，笔者认为数学建模素养的发展可划分为四个阶段：感知模型阶段、理解模型阶段、构建模型阶段与迁移应用模型阶段。下面笔着以人教版<必修5>第三章《不等式》中均值不等式这一重要数学模型的建构为例，具体阐述数学建模与学生核心素养发展的必然联系与教师的相应处置策略。

一、感知模型阶段——背景认识与数学联想

感知模型阶段是建模教学的初始阶段，这一阶段的目的是使学生感知现实生活中的数学模型无处不在，在解决实际问题中感悟到数学模型的存在及其应用价值，了解数学模型的含义及其功能。这一阶段背景问题的设计或选用要求不宜过于隐蔽，也不易过于繁琐，最好稍加分析就可以找到问题的数学背景，并能很轻松解决问题。此阶段要求学生在了解简单的的实际背景的基础上，很快产生相应的数学联想或数学描述，并对数学模型结构与数学知识的应用有初步认识，因此，教师对背景问题的把控要适度，过度繁琐或难于理解的的背景会伤害部分学生探究数学模型的积极性，从而产生畏惧心理，这对建模教学的后续推进极为不利。

评析：通过此例题的教与学，可以让学生：（1）发现：用均值不等式解决“已知定积（或定和），求和（或积）的最小值（或最大值）”的问题，很方便简洁。（2）感受：均值不等式的价值与意义。（3）注意：應用均值不等式模型解决实际问题时应注意“一正二定三相等”的要求。学生通过本例的学习，可以了解均值不等式的结构与意义，初步体会建模过程中的数学思想，感悟数学模型的重要性。

二、理解模型阶段——背景理解与模型形成

这一阶段的目的就是要求学生理解均值不等式模型的实际背景及其数学描述，其主要任务是：通过多个实际问题，让学生体会均值不等式模型在解决实际问题中的价值与意义，理解模型的结构特点与解决的问题类型。本阶段所涉及的问题与第一阶段一样，也不宜过难，可以作为第一阶段的巩固与反复，但教师要及时关注学生的思维并及时引导或点评，迅速让学生由被动性学习与模仿转变为探究性研究。

为了帮助学生理解均值不等式模型，教师可以利用人教版《必修5》P100页练习以及习题3.4 中设计题组（共7个问题）：

例2.（1）x>0，当x取什么值时，x+    的值最小？最小值是多少？

（2）已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？

（3）用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？

（4）做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，底面长与宽各取什么值时用纸最少？

（5）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（6）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

（7）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

评析：对这7个简易问题的设置，对于学生初学均值不等式模型的结构特点及其意义，起到循序渐进、由量变到质变的作用，充分理解模型的意义，能够利用数学语言表达模型，全方位理解模型并试图解决实际问题，达到第二阶段的目标。

三、构建模型阶段——模型的形成与初步应用

这一阶段就是要求学生能够在熟悉的现实背景与数学知识中，发现数学关联，抽象并建立数学模型，应用数学模型解决实际问题，体会数学建模的过程。主要任务就是对相关联的现实背景与数学知识进行数学抽象，构建合理的数学模型。这一阶段的问题可以比第二阶段有深度，但综合性不宜过强，可以找一些经典的建模案例，使学生充分感受其中的建模过程，经历失败与成功，最终熟练掌握一定的有效方法。

在学生经历了对模型的理解阶段之后， 怎样应用数学模型呢？细心阅读课本，人教版《必修5》第三章《不等式》在习题3.4有两个习题：第3题与第4题，可以作为均值不等式模型建构的好案例。下面以第4题为例进行说明。

例3：某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋，能使总造价最低，最低总造价是多少？

评析：当学生理解了均值不等式这一数学模型之后，在本例中主动设两个参数：地面的长a与宽b，那么本问题实际就是已知正数a、b满足ab=12，求3a+4b的最小值，并能准确的对等号成立的条件进行说明，就是在实际问题中构建均值不等式模型解决问题，这对学生理解均值不等式又达到了一个新高度。在熟悉的情境中，教师引导学生发现参数间的数学关系，鼓励学生主动构建数学模型并解决数学问题，充分理解均值不等式模型的价值和意义，使认识得到“升华”，这是第三阶段的目标。

四、迁移应用模型阶段——模型推广与经验形成

迁移应用模型阶段是数学建模的最高层次，主要是在综合情境中，运用数学思想和方法，发现隐含的数学关系，并建立合理有效的数学情景转换，从而对有效的数学模型实施有效的推广，如在一些似乎与其不相关联的情境中，找到相关数学模型转换，如在线性规划中找到不等式模型，在立体几何中找到方程模型，在概率中找到几何模型等，是数学模型的综合应用。以均值不等式模型为例：

评析：例4与例5都是在综合情境中运用数学思想和方法，发现隐含的数学关系，构造均值不等式模型解决最值问题的典型案例，这样的案例很多，平时教学应多留意。学生通过系列的建模及应用训练，学生具备了一定的方法基础，形成了一定的经验，在合适的情景下就自然具备解决问题的方向指引，解决问题的能力自然得到提升;获取相应的经验且影响终身，这就是学生核心素养的最大提升。

结束语

随着课程改革的深入和不断变革的高考，将来的数学教育应该朝重应用、重能力的方向发展，愈加重视学生核心素养的培养。数学建模作为高中数学重要的核心素养之一，对于如何提高学生的建模能力？笔者认为：（1）尊重学生的认识规律，循序渐进。对于数学模型，学生总是要经过：感知模型阶段、理解模型阶段、构建模型阶段，最后再到迁移应用模型阶段。（2）作为教师，应该深入专研教材，透彻理解教材，善于进行题组教学设计，教学时才能驾轻就熟，举重若轻。循序渐进引导学生感受四个阶段，鼓励学生大胆联想建模，师生共同经历成功与失败，适时启发学生模型的迁移与推广，指导学生总结相关的成功经验，学生深切感受数学的实用性价值。这是数学建模应用教学过程中，作为教师不同阶段的职责要求。均值不等式是数学建模教学的重要知识载体之一，本文以均值不等式为例，结合自己的长期教学实践，借本文与读者探讨建模教学的最高境界，不妥之处恳请大家指正。

【参考文献】

[1]姜平. 基于核心素养的教学设计——以＼"均值不等式＼"为例[J]. 中学数学， 2019， 000（005）：6-7.

[2]顾华. 重视数学模型，发展核心素养——以"均值不等式"的教学为例[J]. 数学教学通讯， 2019（36）：35-36.