小学数学知识背景选择的标准与反思*

吉智深

摘    要    小学数学教材都会给出数学知识的一个或者几个背景。教师在课堂教学中呈现这些背景，引导学生主动探索，从而让学生获取隐藏在背景后的新知识。选择数学知识背景时必须考虑两个问题：一是数学知识背景选择的标准，这是选择前考虑的问题;二是数学知识背景选择的反思，这是背景选择后反思的问题，两者都要引起教师的重视与研究。

关键词   数学知识 数学本质 背景选择

近年来的小学数学教育教学研究，把主要精力放在教学方法的改进上，却很少关注并系统研究数学知识背景的选择问题。事实上，数学知识背景选择是非常重要的，教师一定要选择那些能够揭示数学本质的背景，这是总的要求和目标。那么，数学知识背景选择有哪些具体标准呢？多种版本数学教材的并存使教师面对同一数学知识背景有了多种选择。同时，必须研究与反思数学知识背景的实际效果，这两个问题值得广大教师认真研究与反思。

一、选择数学知识背景的标准

数学知识背景的选择标准首先要从数学的本质特征出发，其次要考虑学生的认知水平与接受能力，最后还要把数学作为一种人类活动这一侧面展示出来。

1.现实性

数学知识源于现实生活，并且在日常生活和社会生活中有着广泛的运用，所以数学知识背景必然离不开现实世界。除法的知识背景是分物，例如把一些物体平均分给一群人;乘法计数原理的背景是加法的简便运算，例如如果A、B之间有3条道路可走，B、C之间有4条道路可走，那么从A经B到C共有多少不同的走法？数学知识离不开与其相关的生活实践，当数学知识离开了现实生活，学生离讨厌数学学习也就不远了，所以说数学知识背景的现实性显得尤其重要。

2.有效性

进行数学化的数学知识背景应具有有效性。学生是数学学习的主体，所选择的数学知识背景要符合学生的认知水平与接受能力。有些数学知识背景虽然存在于我们的现实世界中，但对学生来说，这些数学知识背景并不在他们的儿童世界里，不能用成人的眼光来考虑这些数学知识背景。例如以银行利率为背景来说明百分数的应用，这样的数学知识背景对从未亲身存过钱，甚至没有关注过银行的小学生来说，可能就不是一个有效的背景。所以，在选择数学知识背景时，教师必须考虑到小学生的认知水平和接受能力，选择那些对小学生而言是有效的背景。

3.明确性

数学知识背景的目标要明确，每一个数学知识背景对数学知识都有明确的指引，学生借助知识背景能准确地理解与揭示其中所蕴含的数学知识。如平行线的两种定义，一种从“不相交”的背景出发，定义为“在同一平面，两条不相交的直线叫平行线”;另一种从“可画，可证”的背景出发，定義为“两直线若同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行”。从学生的接受能力来看，第一种定义很显然没有第二种定义明确。再比如，算法所给的知识背景要对学生理解算理有帮助，如果没有任何帮助，即使学生会计算而不能理解算理，这样的知识背景也毫无价值。

4.丰富性

同一数学知识可能有许多知识背景，如果只用一个知识背景可能无法体现知识的本质。如认识负数，如果仅仅有温度的零上与零下，海平面以上与海平面以下，这样的背景可能无法完全体现负数的本质。事实上，收入与支出、增加与减少、赢与输、温度的零上与零下、海拔的高与低、方向的向东与向西等都是意义相反的量，也都是负数的知识背景，教材应借助这些丰富的背景，通过学生主动建构，让他们更好地理解负数的本质。

二、数学知识背景选择的反思

不同教材的编写者对知识背景的理解不同，呈现的知识背景也就不同。在使用这些教材的过程中，我们可以对照数学本质从以下几个方面反思数学知识背景的选择问题。

1.实际问题不应成为数学化的唯一来源

新课程改革以来，教材在引入某个数学知识的时候，一般会给出一个实际问题，从实际问题中抽象出数学问题，在解决问题的过程中体现数学的价值。广大小学数学教师在课前也想方设法设计出一个好的实际问题，从而激发起学生的学习兴趣。为什么有人把真实情境当作数学化的唯一来源，这里可能有几个误区。一是数学化就是从生活世界出发进行数学化，其实，数学化分为横向数学化与纵向数学化，横向数学化就是把生活世界引向符号世界，纵向数学化就是“在符号世界里，符号生成、重塑和被使用，而且是机械地、全面地、互相呼应地;这就是纵向数学化”[1]。二是实际问题情境更能体现数学在生活中有着广泛的应用，但事实并非如此。除了前面所讲的百分数在生活中的应用——“利息”问题，对小学生来说并不真实以外，还有一类例子从另外的角度说明看似真实的问题，在日常生活中却并不是用数学化的方法来解决的。如：AA制聚餐时，如果每个人平摊的费用不是刚好一样多时，解决的方法不是通过计算把费用精确到几角、几分，而是其中某个人多出一元或几元就行了。

其实，关于数学与真实性之间的关系，弗赖登塔尔早就有过精辟的论断。他在《数学教育再探》一书中指出：“真实性是历史地、文化地、依赖环境地、个别地和主观地确定的。”他还举例说明：“不管经历多长时间的抵制，……负数、复数以及它们的运算已经成为数学家的事实，……如今它们属于已经学过一些数学的大多数人的真实性。”[1] 也就是说，实际不等于真实，只要学过的知识和经验对学生来说就是真实的，就是学生学习的起点与背景。

2.静态背景难以反映知识的本质属性

教材一般都给出一个主题图，包括生活场景、问题情境等等，作为数学知识背景。这些背景有一个共同的特点就是静态的，但这些静态的知识背景是否都能反映知识的本质呢？比如：1～5的认识，对教材编写，史宁中、王永春等认为，不能用不同类的事物来表示不同的数，而应该用同一种事物动态地演示。猎人打猎，打了5只羊，5只羊排队进入羊圈，第一只进来了，我们认识1，接着第二只进来了，在1只的基础上增加了1只，就是2，以此类推。这样动态的背景可以让学生理解自然数是一个加一个大起来的，也可以让学生更好地理解自然数的基数、序数的意义和大小关系。

对负数的认识与理解，张奠宙也强调用动静结合的方式理解负数的本质。他指出：“以某地的气温为例，可以有下列几种情形：静态的描述有：今天最高气温是18℃，记为+18℃;今天最低气温是零下3℃，记为-3℃。动态的描述有：今天最高气温比昨天升高5℃，记为+5℃;今天最低气温比昨天下降4℃，记为-4℃”、 “静态的描述便于引出数直线。但是，负数一旦引入了，理解了，在数直线上可以标记了，那么 ‘收入和支出之类模型的动态描述，则是日后方程教学的重点。”[2]

十进位值制是小学数学低年级学生难于理解的概念之一，这一概念可以借助计算器来形成和强化。可以让学生观看计算器上显示的数字，注意看某一位数出现变化，如果学生在计算器上不断加1，他们就可以看到每次个位上的数都在变，而十位数变得很慢，通过观察动态的变化，让学生有机会讨论并解释产生这些变化的原因，对他们更好地使用和理解十进位值制这一概念是非常有帮助的。

静态的背景如果不能反映知识的本质，那么就用动态的背景或者动静结合的方式来体现知识的本质，这样的例子很多，需要教师在教学过程中认真挖掘与研究。

3.单一背景不能真正支持数学的整体性

课程开发者和教师总想选择丰富的知识背景，把它们作为数学的起源来教和学，但小学生面对如此丰富的知识背景，会不会被教得晕头转向呢？鉴于此，一些数学教材有意无意地选择知识的单一背景，让学生进行数学化，很典型的例子就是除法背景的选择。张奠宙在《教材编写要注意防止片面的思维定式》一文中指出：“我国的除法教学和教材编写，都畸形地偏向等分除，而忽视包含除，如果没有包含除这一除法的背景，学生可能无法理解分数除法”[3]。他在文中进一步指出，这“会让学生形成片面的思维定式，不利于培养学生分析问题和解决问题的能力”[3]。类似的例子还有，教材为了利用直观来说清楚算理，把点子图作为背景贯穿于整数的乘法计算，这看起来好像体现了数的乘法的整体性，但这样单一的背景却可能影响学生对十进位值计数法的理解。

鉴于前面的分析，在教学两位数乘以两位数时，教师可以直接提出问题：两位数乘以两位数，怎样计算？而不是模式化地先提出一个实际问题。这样的引入违背了教学设计的一般程序，但这样的好处是：让学生利用已有的知识和经验去建构知识，即使使用表征来说明算理，也不一定总回到点子图，而应该有更高层次的表征。教学应追求一種理想的境界：让学生通过纵向数学化将两位数乘以两位数的计算转化为两位数乘以一位数来解决，而两位数乘以一位数是转化为表内乘法来解决的，这才是数学标准算法的核心思想。

弗赖登塔尔指出：“当前已经有不少人对数学教育提出了数学化的要求，但我担心其结构太狭隘，常常把数学化理解成最低层次的活动……最时髦的提法就是为了现实中某个微小而孤立的片段——所谓‘情境进行数学化。”[4]由此可见，我们不能因为过分注重单一的背景，而忽视了数学知识的内在联系，应该通过高层次的建构来体现数学的整体性。

4.特殊背景难以准确指向一般性的算理

算理一直是计算教学研究的重点，也是一个难点。特别是分数除法的算理是难点中的难点。不同版本的数学教材给出不同的背景来说明分数除法的算理，但是不是每一个背景都能准确地指向一般性的算理呢？

为什么除以一个分数等于乘以它的倒数，苏教版教材中出现了“倒果汁”的背景：量杯里有■升果汁，玻璃杯的容量是■升。量杯里的果汁倒入玻璃杯，能倒满几杯？■和■两个分数太特殊，■÷■为什么等于3呢？因为■有9个■，■有3个■。其实这样的范例是不能准确地说清算理的，最多只能算得上是对算法正确性的一次验证，对学生理解分数除法的算理帮助不大。

相比较而言，人教版数学教材所给出的背景：小明■小时走了2km，小红■小时走了■km，谁走得快些？人教版所给出的两个分数不是同分母的分数，而是同分子的两个分数相除：■÷■，从这个角度看，人教版的背景更能指向算法的一般性，利用前面2÷■算理的迁移，借助线段图理解了（■×■）×12=■×■的道理。

要让学生理解分数除法的算理，是比较困难的，但我们不能因此降低难度，让所给的背景不具有一般性。恰恰相反，我们要让学生意识到，从背景中获取知识要付出艰辛的脑力劳动，在此过程中让学生研究算理、理解算理，培养他们敢于坚持不懈地解决问题的品格。

总之，教材的编写与教师的课堂教学要重视数学知识背景的选择问题，只有选择那些符合标准的知识背景，并积极开展反思，才能使数学知识背景体现数学的本质，激发学生思考，引导学生从背景中主动地建构新知识。

参考文献

[1] 弗赖登塔尔.数学教育再探——在中国的访学[M].刘意竹，杨刚，等，译.上海：上海教育出版社，1999.

[2] 张奠宙.多多注意数学本质的揭示——剖析“用温度计引入负数”的优缺点[J].小学教学：数学，2015.（01）.

[3] 张奠宙.教材编写要注意防止片面的思维定式——评小学数学教材中忽视“包含除”的倾向[J].小学教学：数学，2015（09）.

[4] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等，编译. 上海：上海教育出版社，1995.

[责任编辑：陈国庆]