赋能八爪模型 助教诱导公式

陈卫明

[摘  要] 应用八爪模型进行任意角三角函数值化简可以实现化简的一步到位，从而大大提升了三角函数值化简能力和加深了学生对诱导公式体系的理解，其在教材的整合、数学建模核心素养的提升、数形结合思想方法的渗透等方面均有重要意义. 文章详细解读了何为三角函数诱导公式的八爪模型.

[关键词] 八爪模型;诱导公式;数学建模;数形结合思想

问题的提出

诱导公式的应用是三角函数的难点，学生在利用诱导公式进行化异名为同名三角函数时常常思维混乱;在需要多组诱导公式进行任意角三角函数值化简时常常手足无措. 原因就在于对《人教A版必修四1.3三角函数诱导公式》（以下简称《必修四1.3》）中六组诱导公式之间的内在关系不清晰，用死记硬背方式学习. 为了帮助学生更好地理解诱导公式体系的内涵及应用诱导公式进行任意角三角函数值化简，笔者通过构建八爪模型，收到了良好的效果.

模型解读

八爪模型要点如下：

（1）任意一个角都能与某个爪子对应

①建立给各坐标轴赋角的（如图1所示）带有八个爪子的直角坐标系.

②规定：按顺时针方向旋转爪子对应的角在坐标轴所对应角的基础上减少α;按逆时针方向旋转爪子对应的角在坐标轴所对应角的基础上增加α，以y轴正半轴的爪子为例，爪子（2）对应的角度为2kπ+■-α，爪子（3）对应的角度为2kπ+■+α.

（2）利用口诀“纵（轴）变横（轴）不变、符号看象限”进行任意角的三角函数值化简. 具体如下：

例1：（《必修四1.3P27例4》）化简■.

解：在八爪模型下，2π-α，π+α，π-α，3π-α，-π-α分别对应爪子（8）、（5）、（4）、（4）、（4），根据口诀前半句“纵（轴）变横（轴）不变”，函数名不变，2π-α，π+α，π-α，3π-α，-π-α分别落在第四象限、第三象限、第二象限、第二象限、第二象限，其对应的三角函数符号分别为负、负、负、正、正，即sin（2π-α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，cos（π-α）=-cosα，sin（3π-α）=sinα，sin（-π-α）=sinα;■+α，■π-α，■π+α分别对应爪子（3）、（6）、（3），根据口诀前半句“纵（轴）变横（轴）不变，函数名改变，■+α，■π-α，■π+α分别落在第二象限、第三象限、第二象限，其对应的三角函数符号分别为负、负、正，即cos■+α=-sinα，cos■π-α= -sinα，sin■π+α=cosα. 从而：

■=■=-tanα.

■模型价值

应用八爪模型进行任意角三角函数值化简可以实现化简的一步到位，从而大大提升了三角函数值化简能力和加深了学生对诱导公式体系的理解，其在教材的整合、数学建模核心素养的提升、数形结合思想方法的渗透等方面均有重要意义.

1. 整合了教材

一方面，八个爪子囊括了《必修四1.3》六组诱导公式所对应的角（见表1），在口诀“纵（轴）变横（轴）不变、符号看象限”下可以快速得到《必修四1.3》六组诱导公式，保证了八爪模型的准确性;另一方面，把《必修四1.3》P26例3纳入八爪模型中，实现了爪子分布的完整性，这种完整性有助于学生全面理解诱导公式体系，可以大大提高学生在任意角三角函数值化为锐角三角函数值的准确性.

例2：已知角α终边上的一点P（-4，3），则sin-■-α=______.

解法1：利用教材诱导公式（三）和（六）得到：

sin-■-α=-sinα+■=-cosα= -■=■.

解法2：在八爪模型下，-■-α对应y轴负半轴顺时针方向的爪子（6），利用口诀可得sin-■-α=-cosα= -■=■.

应用八爪模型进行任意角三角函数值转化为锐角三角函数值的最大价值就在于有效规避了需要多组公式化简而实现化简的一步到位，从而大大提升了任意角三角函数值的化简能力.从思维角度来看，高中数学课堂教学中同时存在着“浓缩在教材中的数学家思维、对教材进行再加工的教师思维、被教材和教师引导着的学生思维”等三种思维活动，数学教学就是这三种思维相互碰撞和交融的过程. 教师对教材的整合，目的就在于让数学家思维更为自然地与学生思维对接，这对发展学生的思维和提升学生的能力有重要意义，对教师从“教教材”到“用教材教”的转变有积极影响.

2. 提升了数学建模核心素养

数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题.从实际情况来看，不管是数据的收集和处理，还是结果的检验和模型的改进，在高中数学课堂教学中都不太好开展，因此高中阶段的数学建模大都变成了解应用题、第二课堂活动、竞赛辅导等具有数学建模“形”而缺少数学建模“神”的活动类课程，这对高中数学六大核心素养之一的数学建模核心素养的提升极其不利，怎样把数学建模全过程或能充分反映数学建模本质的部分过程在课堂教学中呈现就非常关键. 八爪模型由于具备数学建模全过程从而对提升数学建模核心素养具有重要价值.

通过呈现数学建模全过程或数学建模部分过程来提升学生数学建模核心素养的教学实践对高中数学的公式、概念、定理等教学有很强的借鉴意义. 以概念教学为例，高中数学概念教学的“创设情境、概念形成、概念理解、概念应用”四个环节与数学建模过程的“发现问题、提出和分析问题、建立带有参数的模型、模型应用”四个环节相互呼应，对在高中数学概念教学中提升数学建模素养具有示范意义.

3. 渗透了数形结合思想方法

作为联结数量与图形之间桥梁的一种重要思想方法，数形结合在高中数学有着广泛应用，通过“以形助数”和“以数解形”实现了抽象问题具体化、本质问题直观化. 三角函数值是以角度为自变量的函数值，角度是几何概念，重在形;函数值属于代数范畴，重在数，三角函数概念本身就蕴含了丰富的数形结合思想. 作为三角函数值化简的重要工具，诱导公式的理解和应用必须紧扣数形结合思想方法来进行. 在八爪模型中，从任意角对应到某个爪子的过程、口诀前半句“纵（轴）变横（轴）不变”的表述、应用口诀进行化简等方面都具有明显的数形结合特征，对把数形结合思想方法落实到课堂教学，提高解题能力有积极意义.

例3：y=2sin2x+■的图像向_____平移_____单位可以得到y=2cos2x-■的图像？

分析：在平移变换中，首先是要化异名为同名，使得平移前后的函数名相同.

解法1：在正弦化为余弦中，根据口诀前半句“纵（轴）变横（轴）不变”，选择y轴的四个爪子，为保证x系数和cosx都为正，则选择y轴负半轴逆时针方向的爪子（7）■+α，即2sin2x+■=2cos2x+■+■=2cos2x+■π. 需要经过■=-■.由于周期为π，-■+π=■，即向左平移■个单位.

解法2：在余弦化为正弦中，根据口诀前半句“纵（轴）变横（轴）不变”，选择y轴的四个爪子，为保证x系数和sinx都为正，则选择y轴正半轴逆时针方向的爪子（3）■+α，即2cos2x-■=2sin2x-■+■=2sin2x+■. 需要经过■=■，即向左平移■个单位.

应用八爪模型进行化异名为同名三角函数，包含两个步骤，第一步是根据口诀前半句“纵（轴）变横（轴）不变”，选择y轴对应的4个爪子;第二步是根据口诀后半句“符號看象限”，由被转化的三角函数的符号来确定最终的爪子. 这两个步骤都紧扣八爪模型图形进行，对把数形结合思想方法落实到课堂教学中有极其重要的实践价值，很多时候学生对于某种思想方法的掌握程度与教师在课堂教学中对该思想方法的应用程度息息相关. 比如，若教师过于强调导数在处理函数单调性的价值，则学生对于通过函数图像来解决单调性问题中所蕴含的数形结合思想方法的掌握自然而然就大打折扣.