用不同的几何变量解一道高考几何最值问题

王成强

(成都师范学院 数学学院,四川 成都 611130)

引言

高考数学在考查学生对基础概念、性质、公式掌握水平的同时,注重考查学生的数学能力[1,2]。圆锥曲线理论是高中阶段的数学的教学重难点,它所涉及的问题形式丰富、问题设置视角灵活多变,学好该部分理论要求学生具有较高的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、转化化归能力与科学计算能力,因此,每一年的高考数学都设置关于圆锥曲线理论的考点,且该考点所占分值稳定。几何变量的最值问题(或几何量取值范围问题)是近几年的高考热点之一,据笔者观察,该类问题以圆锥曲线知识模块、函数与导数知识模块、不等式知识模块等为背景,求解思路来源于书本但远超出书本,能力立意突出,具有很高的研究价值。2019年高考数学浙江卷第21题(第(ii)问,更准确地说)是典型的几何最值问题,其内容完整表述如下:

图1 抛物线y2=2px,S△AFG,S△CQG位置关系示意图

一、用不同的几何变量求解问题(*)第(ii)问

(一)利用点G的横坐标求几何最值

经计算,有

且

于是,当t∈(1,2)时,H′(t)>0;当t∈(2,+∞)时,H′(t)<0。由导数与函数单调性的关系[3,4]可知,H(t)在区间(1,2)上严格递减,在区间(2,+∞)上严格递增,且在点t=2处取得最小值。即当点G的坐标为(2,0)时,

(二)利用直线AB的斜率求几何最值

令直线AB的斜率为t。经计算,有

经计算,有

与小节1.1一样,可计算得出点G的坐标为(2,0)。

(三)利用点A的横坐标求几何最值

与小节1.1及1.2一样,可计算得出点G的坐标为(2,0)。

注2 (a)小节1.3中的想法源自于官方参考答案,官方参考答案是利用均值不等式求出J(t)在区间(2,+∞)上的最小值:

(b)小节1.3中的想法的优点是新引入的几何变量(点A的横坐标)与几何变量S△AFG/S△CQG之间的函数关系式最简洁,其缺点是,与小节1.2类似,都不是直接求出点G的坐标。

(c)小节1.1的想法直指问题本身,第(ii)问要求点G的坐标,那就引入点G的横坐标作为自变量,在求得S△AFG/S△CQG的最小值的同时,直接求出的就是点G的坐标,小节1.1的想法在解答很多数学问题中有重要应用。

二、结语

本文分别以点G的横坐标、直线AB的斜率、点A的横坐标为自变量给出了问题(*)(即2019年高考数学浙江卷21题)第(ii)问的解答。除了前述三种引入新几何量的方法,还可引入点B的横坐标或纵坐标、点C的横坐标或纵坐标、点Q的横坐标、直线AC的斜率、直线BC的斜率、直线AG的斜率或直线CG的斜率等几何量完成对第(ii)问的解答,基于这些想法的过程与本文的解答过程类似,故过程从略。本文的思路是以S△AFG/S△CQG作因变量,引进新的几何量作为自变量,建立两者之间的函数关系,利用函数的导数判断此函数的单调性并进而求出其最值。该最值就是问题关注的几何量的最值。本文用到的思路在几何最值问题有广泛应用性。从研究过程获得的启示是:(a)中学数学教学过程中,除重视对基础概念、性质、公式的教学之外,还要注重培养学生的数学能力;(b)大学数学类课程教学过程中,要注重加强大学阶段的数学与中小学阶段的数学的衔接。