关于积求导法则的教学探析

杨 雄

(娄底职业技术学院,湖南 娄底 417000)

基本初等函数可用导数的定义求导,但一般初等函数的导数利用导数定义求导比较困难,因此需要建立基本导数公式及求导法则扩大基本导数公式的适用范围,进而有函数的和、差、积、商的求导法则,并且通过求导法则可得出一些初等函数的求导公式,使得有能力求出所有的初等函数的导数。在教学中发现在求解函数积的导数时,有它的一些规律性,对其进行探索,发现一些有用的结论,对教学和学习提供帮助。

一、函数乘积的一阶导数

法则1 设u(x)在x处可导,则u2(x)在x处可导,且(u2)′=2uu′.

u′(x)·2u(x)=2uu′

法则2[1]设u(x),v(x)都在x处可导,则u(x)v(x)在x处可导,且(uv)′=u′v+uv′.即两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积,加上第一个因子与第二个因子的导数乘积。

u′v+uv′.

法则3 设u(x),v(x),w(x)都在x处可导,则u(x)v(x)w(x)在x处可导,且(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′.可以推广到n个函数的乘积的形式,即

例1 求y=(x2+1)(ex+sinx)的导数。

分析此类题,当然首先可以因式展开,再用基本初等函数求导公式求解,但如果因式较多,那么在展开的过程中计算量大。因此从前面的积的求导法则可以看出,积的求导一般不需要展开,直接用积求导法则求解。

解y′=(x2+1)′(ex+sinx)+(x2+1)(ex+sinx)′=2x(ex+sinx)+(x2+1)(ex+cosx)

二、函数乘积的高阶导数

(一)Leibniz公式及证明

设u(x),v(x)在x处存在n阶导数,则u(x)v(x)在x处也存在n阶导数,且

设n时公式成立,则n+1时公式也成立:

即Leibniz公式成立。

(二)Leibniz公式在求导中的应用

例2 求(x2sinx)(80).

解因(x2-1)n=(x-1)n(x+1)n,故

2n·n!Pn(x)=[(x-1)n(x+1)n](n)=

((x+1)n)′+…+(x-1)n((x+1)n)(n).

当x=1时,((x-1)n)(k)=0(k=0,1,…,n-1)以及((x-1)n)(n)=n!,因此

2nn!Pn(1)=n!·(1+1)n=2nn!,

即Pn(1)=1.类似可计算得Pn(-1)=(-1)n.

三、函数积的导数公式其他形式

函数的积的导数其他表现形式其实质与Leibniz公式是一致的。这些式子表现出完美的对称性,体现出数学美,进而学习过程中赏心悦目,也能很好记忆。

(一)函数一阶导数的其他形式

设u=u(x)≠0,v=v(x)≠0,w=w(x)≠0,且在定义域内任意x处都可导,则有

分析此题可以直接应用商的求导法则求解,这里应用积求导的对称式来求解,可以体会到数学对称式的美感。

解

(二)函数积的二阶导数的其他形式

设u=u(x)≠0,v=v(x)≠0,w=w(x)≠0,且在x处都可导,则有

(2)

(uvw)″=

例5 求x2ex的二阶导数。

分析可以先求一阶导数,再求二阶导数,这里直接应用积的二阶导数的对称式求解,感觉解题过程是多么的和谐舒畅。

解

(2+4x+x2)ex

四、函数乘积的求导法则在其他方面的应用

(一)推导分部积分法的应用

(二)在求解微分方程中的应用

例6 已知微分方程为xy′+y=ex,求通解。

(三)在求解定积分中的应用

分析:可作为一个求导法则以及定积分方面的问题求解,基本思路是:首先将求函数lnx的定积分的问题,转化为两个函数的差的定积分问题,再根据积的求导法则可知(xlnx)'=lnx+1,从而可知求函数lnx的定积分的问题,进而可以转化为求(xlnx)'的定积分与常数1的定积分的问题,然后问题得到了解决。当然此种解法,只是提供了求积分的另外一种思考方式,开阔思维,其实质解题过程是分部积分法。

五、结论

求解函数积的导数,一是要理解记忆积的求导法则,解题的基本功还是初等函数的求导公式,因此对一些常用的求导公式要熟悉,要能准确应用;二是通过对积的求导知识的积累和深入理解,进而达到灵活运用积的求导法则,实现选择最优方法解题。