浅谈复变函数解题方法

摘 要：数学解题过程是一个非常有逻辑性、系统性的过程，面对不同类型的题目，可以联系到的解题方法也是多种多样的。而复变函数在整个数学体系中占有十分重要的地位和作用，如何在解题过程中充分的熟练、掌握相关解题思维，提高解题能力，在进行复变函数的学习过程中十分重要。本文通过介绍两种方法，将数学解题中典型的划归、转化方法贯穿复变函数的解题过程，从而大大提高其在复变函数解题中的运用，提高解题能力。

关键词：复变函数;解题方法;化归;转化

作为数学方面的重要基础课程之一，复变函数的运用在整个数学逻辑体系中地位非常重要，学好复变函数，既是对之前所学的课程进行一个巩固和温习，实现熟练地运用，同时也是为后续关于各类函数的课程的学习、深造打好的坚实的基础。复变函数的解题方法为其他涉及这个知识点的数学分支，提供了一个更为清晰、重要的解题工具，从而在其他涉及数学的领域中都具有很广泛的运用。

一、 复变函数

复变函数论产生于十八世纪，其全面发展是在十九世纪，就像微积分的运用的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。身为数学中一门丰富的学科，在当时的数学家公认复变函数论是数学分支中内容最为丰饶的学科之一，并且赞誉其为十九世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

复变函数的相关理论应用十分广泛，在其他学科领域也有着大量的运用，例如物理学利用复变函数解决稳定平面场的计算。同时，其在微分方程、数论、概率论等领域也有成熟的发展，大大促进了数学领域的广阔分支的进步发展。

二、 化归的方法

（一）化归的方法的原则

在复变函数的一系列解题方法中，化归方法是其中最为普遍存在的方法之一。学生在完全理论掌握之后，若同样能够运用这种方法进行熟练的演算的话，可以提高学生的解题能力。但是，若是想要真正地理解并且正确的运用化归方法，需遵循以下几个原则：

1. 熟悉化原则

面对其他未知的问题时，就能够通过读题和分析，再思考以前所遇到的题型能否找到类似出题规律的题目，将其转化为熟悉的问题，用学过并且熟练掌握的知识和方法进行解答。如果转化问题的能力并不熟练，或者遇到的题并没有发现是熟悉的，那么可能就难以正确作答，就更没有办法找到合适的转化方法。

2. 简单化原则

面对复变函数的题目时，可以将看似困难复杂的问题往简单的方向进行转化。在这个过程中，可以锻炼学生自己的思维变通能力，并且简化做题步骤，从而更加便捷地进行答题。

3. 直观化原则

首先学生是一定要进行复变函数方面的大量解题，这样才能够在题目中找到一致的规律。这样在对于抽象、深奥的问题，可以通过将其类比至其他相对比较直观，具体、浅显易懂的方向，再利用所学过的知识和方法进行解答。

因此，化归要最大限度地做到化繁为简、化难为易、化抽象为具体等，在复变函数的解题过程中，要用变化发展的眼光去看待问题，对问题进行化归。

（二）在复变函数中的运用

在复变函数教学中，对于基本概念，做题时候切忌不要只是简单地按照理论知识解答，照本宣科，这样思维容易进入死胡同，难以探尋出更为简便的解题方法。

总之，在对复变函数进行认真的学习之后，充分掌握相关数学概念，在解题过程中发散思维，用联系的观念看问题，学会举一反三，夯实基础。

三、 转换的方法

转化思想是数学中一种非常重要的思想，是运用一定的技术和手段把一待解决的数学问题转化为另外一个或几个较简单的数学问题，从而使问题得到解决的一种思想方法，这在复变函数的解题应用中尤其广泛。

转换思想对解答数学题目时的逻辑思维要求尤其更高，只有在充分的对复变函数相关数学知识结构、理论体系和研究方法有一定程度的了解，才能够自如地对未知的题目进行准确的转化，从而达到成功解题的目的。而复变函数是数学分析在复数域内的延伸，这使得转换思维在复变函数的解题过程中尤为重要，如何将复变函数的问题转化为数学分析中相对常见的问题来研究、解答，对解题技巧提出了一定的要求。

例如，在学习复变函数概念时，如何将函数转化为w=u（x，y）+iv（x，y），这时候就可以借助于相当熟悉的实二元函数来进行类比。将实二元函数的性质和研究方法有了深入的理解和认识之后，就可以去探索复变函数的性质，并且讨论其极限和连续性。对于某些积分理论不能解决的复积分问题，就可以运用罗郎级数的相关知识点，将复杂的复变函数积分转化为简单的积分，从而进行计算。另外，在求解复变函数积分过程中，利用代换的思想，将较为复杂的函数转化为第二类曲线积分，从而利用曲线的复参数方程，结合曲线积分的概念，运用换元的思想来实现复变函数的积分，这样就可以将复积分就转化为定积分来处理。

在解题的过程中，面对未知的题目，要充分调动大脑去创设条件，启发自己的类比转化思维，从而实现自主探索，并且将题目实现正确的转化，从而做到将未知、复杂的亟待解决的问题转化为熟悉的问题。

四、 总结语

划归和转化两种思维方式，在复变函数的解题中一直都得到了广泛的应用。因此，在进行复变函数的解题过程中思维的锻炼，必要的前提都是要对基本概念、理论和方法进行充分学习，这样才能切实的掌握更为简便、快速的解题方法，实现提升思维能力的目的。

作者简介：

刘莉，贵州省黔南布依族苗族自治州，黔南民族幼儿师范高等专科学校。