数形结合百般好

摘 要：文章通过三角函数线来解决三角函数中解三角不等式、求定义域、比较大小、证明三角恒等式的问题。

关键词：三角函数;三角函数线;单位圆;数形结合

三角函数是高中数学的重要内容之一，而三角函数线不仅体现了数形结合的数学思想，而且始终贯穿于整个三角函数的教学中。我们可以借助三角函数线来推导三角函数的诱导公式，也可以借助它来解三角函数不等式、探索三角函数的图像和性质。文章旨在探究三角函数线在解题中的应用。

小结：在比较大小时，有时用代数方法难以解决的为题，用数形结合的思想会达到柳暗花明又一村的效果。

数形结合思想的核心就是，数学的两大研究对象“形”与“数”之间的相互转化、相互表达和相互解决。而这种“相互转化、相互表达和相互解決”则是我们数学教学培育学生建立数学直观能力的重要方式。就“数”与“形”的“相互转化”而言，我们可以通过“形”来加深对“数”的理解，也可以通过“数”来加深对“形”的理解。譬如，就“负数的初步认识”而言，我们可以通过温度计之“零上与零下”、东西或南北之“方位”、事物发展之“进退”等“形”（数轴）来帮助小学生理解负数之“相反量的意义”。再譬如，就“用数对确定位置”而言，我们可以用行与列、排与列、横排与竖排之“序数”等“数”（数对）来帮助学生明确“二维平面”上点的位置。就“数”与“形”的“相互解决”而言，它是在“数”与“形”的相互转化与相互表达基础上完成的。譬如，就“时间的认识”而言，我们是通过客观世界中事物的发展变化（譬如，春生夏长、秋收冬藏）而直观地加以感受的（这里，既有事物的量之“形”，又有其量之“数”）。但是，我们在数学中却是通过“指针的旋转”及钟表之“面上的刻度”来帮助学生认识和把握时间之长短、快慢的。其实，这就是“时间事物”的量之“形”与“数”的相互分离、相互转化、相互表达和相互解决，而最终促使我们把握其本质特征的一种思维方式——数形结合思想的关键。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。其实，这里有三层含义。首先是“以形助数”，形象、直观地实现“由数至形”的转化与表达;其次是在“以形助数”基础上，促使“以形解数”的完成，实现“形”与“数”之间的相互解决;第三是在“以形助数”和“以形解数”基础上，帮助学生形成“数形结合”之数学直观能力，以便其更好地理解、学习与应用数学。

数形结合的思想表现在由数到形和由形到数两方面。将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来体现了有数到形的转化，在解决三角函数问题时，巧妙应用三角函数线将问题化繁为简，既体现数学思想，又能准确快速地解决问题。正是：数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，数形分离万事休。

作者简介：

汪宏旭，宁夏回族自治区中卫市，宁夏中卫中学。